[Esercizio] Serie "armonica" convergente.

[Studente Anonimo]

Vi propongo un esercizio, che ritengo "sorprendente" e molto simpatico:

Per ( k in { 1,ldots , 9 } ) definiamo (N_k:={ n in mathbb{N} : n ext{ non possiede la cifra } k ext{ nella sua rappresentazione decimale} } ). Fissato ( k in { 1,ldots, 9 } ), dimostra che
[ sum_{n in N_k} frac{1}{n} < 80 ]

[marco2132k]

Ce l’avevo come copertina dei miei appunti di analisi ahah

[Studente Anonimo]

Simpatica

[solaàl]

A volte le cose sono determinate da cosa fanno quando tiri loro addosso altre cose

[axpgn]

Comunque nessuno ha ancora postato la soluzione ...

[Studente Anonimo]

"solaàl":A volte le cose sono determinate da cosa fanno quando tiri loro addosso altre cose

Onestamente non ho proprio capito cosa tu voglia dire

"axpgn":Comunque nessuno ha ancora postato la soluzione ...

Magari nessuno ci ha provato, anche perché non è difficile.

[axpgn]

Io ne conosco una per il nove (che dovrebbe valere anche per le altre cifre, non ci ho riflettuto granché) ma vale per $<90$


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Si tratta di contare. Faccio il caso con ( k=1 ), l'idea dovrebbe essere la stessa per le altre cifre. Ci sono ( 8 cdot 9 ) numeri a due cifre che non contengono (1), (8 cdot 9^2 ) numeri a tre cifre che non contengono (1) etc... inoltre se ( eta_m ) e' un numero a ( m ) cifre che non contiene (1), allora ( eta_m ge 2 cdot 10^{m-1}). Ne segue che [ egin{split} sum_{n in N_1} frac{1}{n} & le underbrace{frac{1}{2} + dots + frac{1}{9}}_{approx 1.829} + frac{8 cdot 9}{20} + frac{8 cdot 9^2}{200} + dots \ & le 1.829 + 4 sum_{m=1}^infty left( frac{9}{10}
ight)^m = 1.829 + 4 left[ frac{1}{1 - 9/10} - 1
ight] = 37.829. end{split} ]
Penso che il tuo upper bound venga dalla stima (piu' grezza) ( eta_m ge 10^{m-1}).

[Studente Anonimo]

Comunque la serie armonica e' convergente. E' una conseguenza del teorema di Ababou.

[dissonance]

Che cos'é questa roba?

[Studente Anonimo]

"dissonance":Che cos'é questa roba?

[gugo82]

"dissonance":Che cos'é questa roba?

Rassegnati... È quell'umorismo nordista che noi terroni non capiremo mai.

[Studente Anonimo]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":

Si tratta di contare. Faccio il caso con \( k=1 \), l'idea dovrebbe essere la stessa per le altre cifre. Ci sono \( 8 \cdot 9 \) numeri a due cifre che non contengono \( 1 \), \( 8 \cdot 9^2 \) numeri a tre cifre che non contengono \( 1 \) etc... inoltre se \( \eta_m \) e' un numero a \( m \) cifre che non contiene \( 1 \), allora \( \eta_m \ge 2 \cdot 10^{m-1} \). Ne segue che \[ \begin{split} \sum_{n \in N_1} \frac{1}{n} & \le \underbrace{\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{9}}_{\approx 1.829} + \frac{8 \cdot 9}{20} + \frac{8 \cdot 9^2}{200} + \dots \\ & \le 1.829 + 4 \sum_{m=1}^\infty \left( \frac{9}{10} \right)^m = 1.829 + 4 \left[ \frac{1}{1 - 9/10} - 1 \right] = 37.829. \end{split} \]
Penso che il tuo upper bound venga dalla stima (piu' grezza) \( \eta_m \ge 10^{m-1} \).

Esatto, anche sull'ipotesi della mia stima.

"dissonance":Che cos'é questa roba?

Ed... esatto ?! Cos'è quella roba?!

[solaàl]

"gugo82":[quote="dissonance"]Che cos'é questa roba?

Rassegnati... È quell'umorismo nordista che noi terroni non capiremo mai. [/quote] La famiglia Ababou, nota proprietaria di un concessionario a Vimercate.

[gabriella127]

"gugo82":[quote="dissonance"]Che cos'é questa roba?

Rassegnati... È quell'umorismo nordista che noi terroni non capiremo mai. [/quote]

gugo, il guaio di questi nordisti è che non conoscono il Teorema di Caponi-Posalaquaglia

[dissonance]

La famiglia Ababou, nota proprietaria di un concessionario a Vimercate.

Comunque, questo signore arriva tardi. Questo commento è tratto dal libro di Knopp sulle serie, pg. 133:

Before the strict foundation of the algebra of infinite
series, mathematicians found themselves fairly at a loss when
confronted wIth paradoxes such as this. And even though the better mathematicians
instinctively avoided arguments such as the above, the lesser brains had all the
more opportunity of indulging in the boldest speculations. - Thus e. g. Guido
Grandi (according to R. Reiff, v. 69, 8) believed that in the above erroneous train
of argument which turns 0 into 1, he had obtained a mathematical proof of the
possibility of the creation of the world from nothing!

Il "train of arguments" è la possibilità di riorganizzare i termini di una serie divergente in modo da farla convergere al limite che si vuole. Questo signor Guido Grandi è arrivato ben prima del signor Ababou.