Esercizio serie numeriche

[studente_studente]

Ciao, devo studiare la convergenza di queste serie ma non capisco se ho fatto errori!

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^n arctan(\frac{1}{2n+1})$

Notando che:
1) $ lim_(n->infty)b_n=lim_(n->infty)arctan(1/(2n+1))=0 $ e allora la serie può convergere
2)$(b_n)'=(arctan(1/(2n+1)))'=1/(1+(1/(2n+1))^2)*-(1/(2n+1)^2)*2=...= -1/(2n^2+2n+1) $
ma $(b_n)'<0$ MAI

Allora non posso applicare il criterio di Leibniz.. però nelle soluzioni lo applica perché controlla che sia decrescente tramite $ b_(n+1)<= b_n $ ed effettivamente la funzione è decrescente. Cosa sbaglio allora?

Grazie in anticipo!!

[gugo82]

A me pare che la funzione:
\[
f(x) := \arctan \frac{1}{2x+1}
\]
abbia sempre \(f^\prime (x)<0\) per \(x>1\), ergo \(f\) è strettamente decrescente in \(]1,+\infty[\).
Ne viene che \(b_n=f(n)\) è una successione strettamente decrescente.

D'altra parte, te ne puoi accorgere anche senza passare alla variabile continua (i.e., senza usare le derivate): infatti, dato che la successione \(a_n:=\frac{1}{2n+1}\) è strettamente decrescente e dato che la funzione arcotangente è strettamente crescente, è evidente che la funzione composta \(b_n=\arctan a_n\) è strettamente decrescente.

[studente_studente]

"gugo82":D'altra parte, te ne puoi accorgere anche senza passare alla variabile continua (i.e., senza usare le derivate): infatti, dato che la successione \(a_n:=\frac{1}{2n+1}\) è strettamente decrescente e dato che la funzione arcotangente è strettamente crescente, è evidente che la funzione composta \(b_n=\arctan a_n\) è strettamente decrescente.

Infatti la soluzione fa proprio così.. nel frattempo ho rifatto i conti e mi ero solo confuso!
Però non capisco.. perché per $x>1 $ e non $x>0$?