Esercizio serie numerica a segni alterni

[goblin303]

Salve a tutti,sono uno studente al primo anno di fisica e ho un problema con questa serie.

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*ln((2/\pi)*arctan(n+1))$

Mi da come risultato che è convergente.
Ho verificato che la successione tenda a 0 e dopo ho verificato il criterio della convergenza assoluta che purtroppo non mi da risultati,potete aiutarmi?
Grazie in anticipo

[21zuclo]

usa la formula magica dell'arcotangente $ \arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2 $

ossia $ \arctan(x)=\pi/2-\arctan(1/x) $

nel tuo caso è $ x=n+1 $ (è solo per farti capire)

prova così..fammi sapere..

[catwoman2]

Oppure... scrivi $(-1)^n=(-1)^{n-1}*(-1)$ e fai assorbire il $-1$ dalla successione.
Ora sei nelle ipotesi per applicare il criterio di Leibniz.

[goblin303]

21zuclo ho già provato ad applicarla, ma mi esce che la serie è divergente, quindi non c'è convergenza assoluta.
Catwoman non capisco cosa intendi, puoi rispiegarmelo?

[21zuclo]

un momento però una serie..può NON convergere assoutamente, MA può convergere semplicemente per il criterio di Leibniz!..

applica il criterio di Leibniz!

[catwoman2]

Criterio di Leibniz:
La serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$ è convergente se:
- $AA n$ $a_n$ è non negativo
- la successione ${a_n}_n$ è debolmente decrescente
- il termine $a_n$ è infinitesimo.

Ora, per come è scritta la tua serie, non stai per nulla sotto le ipotesi di Leibniz e, se fai un rapido studio di funzione, la tua successione non solo è crescente, ma anche a termini tutti negativi, quindi fai così:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$=$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}(-1) a_n$=$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}(-a_n)$=$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (-a_n)$

e ora la successione ${-a_n}_n$ è a termini positivi ed è decrescente.
Applica ora Leibniz e ottieni la convergenza.