Esercizio serie numerica

[sirfortesquee]

Salve a tutti, mi sono appena registrato! Spero che mi darete una mano..Ecco qui una serie
$ sum_(n=1)^(oo) n/(n^2 + log(n^2+4)) $
Ho provato a risolverla nel modo seguente ma, a quanto pare, è sbagliato..
Applicando il criterio della radice mi viene fuori questo:
$ lim_(n -> oo) root(n)(n)/root(n)(n^2+log(n^2+4)) $ ossia $ lim_(n -> oo) (n^(1/n))/(n^(2/n)+log(n^2+4)^(1/n)) $ , che sarebbe (almeno credo) $ oo^0/(oo ^0+oo ^0) $ , quindi $ 1/2 $ e la serie converge...Perchè è sbagliato??Come andrebbe risolta? Grazie in anticipo per le vostre risposte!

[K.Lomax]

Attenzione:

[tex]\left[n^2+\log(n^2+4)\right]^{\frac{1}{n}}\neq n^{\frac{2}{n}}+\log^{\frac{1}{n}}(n^2+4)\right)[/tex]

[sirfortesquee]

Accidenti, hai ragionee! Credevo di poter "spezzare" la radice al denominatore in due radici... Se non chiedo troppo, come potrei risolvere la serie?

[faximusy]

"sirfortesquee":Accidenti, hai ragionee! Credevo di poter "spezzare" la radice al denominatore in due radici... Se non chiedo troppo, come potrei risolvere la serie?

Proviamo con il metodo di condensazione di Cauchy*

$ n/(n^2 + log(n^2+4))$ diventa:

$( 2^(n)2^(n))/ (2^(2n) + log(2^(2n)+4)) = 1/(1+log((2^(2n)+4)))= 1/(1+2nlog(6))$


Poichè $1/(1+2nlog(6)) \sim 1/n $, la serie diverge.


Credo sia giusto



* Se $a_n$ è positiva e decrescente, la serie converge se e solo se converge la serie $2^n a_(2^n)$

[indovina]

Io ho fatto in un altro modo, forse può andare bene
Ho lavorato sopratutto con i logaritmo.
$log(n^2+4)=log(n^2(1+4/n^2)=logn^2+log(1+4/n^2)$
a finale mi viene $lim_(n->+oo)n/n^2$ e dunque diverge.