Esercizio serie di taylor

[claudio_p88]

provare l'unicità dello sviluppo in serie di potenze di una funzione \(\displaystyle f(z) \), calcolare \(\displaystyle f^{(20)}(0) \) dove \(\displaystyle f(z) = \frac{7z^4}{(1-z)^2} \) ho proceduto così, poichè per \(\displaystyle |z|\le 1 \) risulta \(\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2} = D(\frac{1}{1-z}) = \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} \), quindi avrò che \(\displaystyle f(z) = \sum_{n=1}^\infty 7nz^{n+3} \), ora ho un po' di dubbi su come calcolare \(\displaystyle f^{(20)}(0) \), so che \(\displaystyle f(z)=\sum_{k}^n a_k(z-z_0)^k+o((z-z_0)^n) \) e che \(\displaystyle a_k=\frac{1}{k!}\cdot\frac{d^k f}{dz^k}(z_0) \), quindi \(\displaystyle \frac{d^k f}{dz^k}(z_0)=k!\cdot a_k \), solo faccio un po' di fatica con i calcoli e nell'individuare \(\displaystyle a_k \), sarei grato se qualcuno mi svolgesse i calcoli con relativi passaggi, grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

$[n=17] rarr [(f^(20)(0))/(20!)=119]$

[claudio_p88]

quindi n equivale al numero che devo assegnare ad n per cui l'esponente della variabile z sia uguale a 20 in questo caso \(\displaystyle z^{n+3} \)quindi n = 17?

[Sk_Anonymous]

Direi proprio di sì.

[claudio_p88]

grazie