Esercizio serie di potenze, trovare somma

[bettina86]

Ho questa serie di potenza:
So che la serie ha come insieme di convergenza (-2,2) e converge totalmente etc.. in un intervallo contenuto in questo.
$\sum_{k=0}^oo [(n+1)/2^(n+1)]x^n$ devo trovare la somma.
io so che $\sum_{k=0}^oo [1/2^(n+1)]x^n$ è $1/2*1/(1-x/2)$ e che $d/dx{\sum_{k=0}^oo [1/2^(n+1)]x^n}$ è $\sum_{k=0}^oo[n/2^(n+1)]x^(n-1)$

Con queste cose però non capisco come trovare la somma della prima serie di potenze.

[Quinzio]

"bettina86":Ho questa serie di potenza:
So che la serie ha come insieme di convergenza (-2,2) e converge totalmente etc.. in un intervallo contenuto in questo.
$\sum_{k=0}^oo [(n+1)/2^(n+1)]x^n$ devo trovare la somma.
io so che $\sum_{k=0}^oo [1/2^(n+1)]x^n$ è $1/2*1/(1-x/2)$ e che $d/dx{\sum_{k=0}^oo [1/2^(n+1)]x^n}$ è $\sum_{k=0}^oo[n/2^(n+1)]x^(n-1)$

Con queste cose però non capisco come trovare la somma della prima serie di potenze.

La sommatoria va riscritta così:

$\sum_{k=0}^oo [(n+1)/2^(n+1)]x^n = 1/2 \sum_{k=0}^oo (n+1)(x/2)^n$

Integriamo il termine generale:

$ 1/2 \sum_{k=0}^oo 2(x/2)^(n+1)= \sum_{k=0}^oo (x/2)^(n+1) = x/2 \sum_{k=0}^oo (x/2)^n $

La somma è $x/2 1/(1-(x/2))=x/(2-x)$

Deriviamo, siccome prima abbiamo integrato

$ d(x/(2-x))/(dx) = (2)/((2-x)^2) $

[bettina86]

Si va ottimo metodo , ho capito il procedimento. Nel frattempo avevo pensato ad un modo usando la derivata calcolata e la somma di quell'altra funzione. Se io pongo $t =n+1$ e quindi $t=n-1$ quindi la serie diventa:$\sum_{n=0}^\infty\(t/2^t)x^(t-1)$ che è la derivata di $1/2*\sum_{n=0}^\infty\(n/2^n)x^(n-1)$ di cui conosco già la somma. quindi poniamo s la somma dellla serie. $s=1/2*\sum_{n=0}^\infty\(n/2^n)x^(n-1)$
Quindi derivo la somma della serie e ho la somma della serie che voglio.
Perchè di solito la prof mette gli esercizi in ordine, da calcolare prima la derivata di una più semplice e poi la somma, per usare quello che hai già fatto.