Esercizio serie di potenze - Taylor Laurent

[roberto.caldaroni]

Sto facendo un esercizio già svolto da un mio amico, ma non riesco a capire alcuni passaggi che ha fatto.
Riporto tutto l'esercizio passo passo.

Data la funzione:
$f(z)=(2z-1)/(z^2-z-2)$
Il denominatore si annulla per: $z=-1$ e per $z=2$

Allora, gli sviluppi vengono fatti per:
A) $| z|<1$
B) $1<| z|<2$
C) $| z|>2$

Separando la funzione $f(z)$ in fratti semplici alla fine otteniamo: $f(z)=1/(z+1)+1/(z-2)$

- Per $| z|<1$
$f(z)=1/(z+1)+1/(z-2)$

facendo qualche modifica e consideriamo le serie geometriche corrispettive otteniamo:
$f(z)=sum_(n=0)^(n=+oo) (-1)^nz^n-1/2sum_(n=0)^(n=+oo) z^n/2^(n+1)$

- Per $1<| z|<2$
QUI HO IL PROBLEMA

il mio amico considera:
$1<| z| -> 1/| z|<1$

$| z|<2->|z|/2<1$
perche fa queste considerazioni????

poi scrive la serie in questo modo:
$f(z)=1/zsum_(n=0)^(n=+oo) (-1)^nz^n-1/2sum_(n=0)^(n=+oo) z^n/2^(n+1)$

non capisco dove prende $1/z$, o meglio, potrebbe ottenerla mettendo in evidenza $z$ al denominatore della $f(z)$, ma perchè non lo fa anche prima???

POTETE AIUTARMI????

[gio73]

ciao
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[Light_1]

perche fa queste considerazioni????

Si sta riconducendo a una serie armonica con argomento minore di 1 ,

prendendo il reciproco di quello che era l'argomento originario ,

che , in quella regione , come è evidente,

è maggiore di 1.(si tratta di trucchetti )

Non lo fa nella prima perché in quella regione l'argomento della serie è già minore di 1.

[roberto.caldaroni]

Ok, ma non ho capito unacosa, facendo questo, cosa succede alla $f(z)$?

[Light_1]

Se tu hai per esempio,

$ f(z)=1/(1-z)=-1/z1/(1-1/z) $

vedi che non cambia niente ?

Se tu hai che $z>1$ è chiaro che $1/z<1$.