Esercizio serie di potenze
Ciao!
Ho la seguente serie di potenze: $\sum_{n=1}^oo (n/(1+n^2))*x^n$
e devo verificare la continuità della somma.
Ho applicato il Teorema di Weierstrass ma il sup mi viene $+oo$, quindi non posso concludere che ci sia convergenza totale e quindi uniforme.
Allora ho verificato la convergenza uniforme con il criterio di Cauchy-Hademard, cioè ho calcolato il raggio spettrale, $R=1$.
Quindi c'è convergenza assoluta in $[-1,1]$ e convergenza uniforme nei compatti $[-r,r]$, con $r<1$.
Posso quindi concludere che la somma è continua sui compatti $[-r,r]$, con $r<1$?
Ho la seguente serie di potenze: $\sum_{n=1}^oo (n/(1+n^2))*x^n$
e devo verificare la continuità della somma.
Ho applicato il Teorema di Weierstrass ma il sup mi viene $+oo$, quindi non posso concludere che ci sia convergenza totale e quindi uniforme.
Allora ho verificato la convergenza uniforme con il criterio di Cauchy-Hademard, cioè ho calcolato il raggio spettrale, $R=1$.
Quindi c'è convergenza assoluta in $[-1,1]$ e convergenza uniforme nei compatti $[-r,r]$, con $r<1$.
Posso quindi concludere che la somma è continua sui compatti $[-r,r]$, con $r<1$?
Risposte
"blonde angy":Si. E quindi, dove è continua la somma? Ragiona un po' che puoi dare una risposta molto più soddisfacente di questa. Se una funzione è continua su tutti gli intervalli limitati contenuti in un insieme $X subset RR$, è continua in tutti i punti di $X$. E quindi, è continua su ...
Posso quindi concludere che la somma è continua sui compatti $[-r,r]$, con $r<1$?
...è continua su tutto $]-1,1[$ ?
Esatto. E negli estremi, è continua? Questa è una domanda delicata la cui risposta, in generale, prevede l'applicazione del teorema di Abel.
Se x=1 la somma non converge perché è una somma infinita di termini positivi.
Se x=-1 posso dire che la serie converge applicando il teorema di Leibnitz, visto che $(n)/(1+n^2)$ è monotona decrescente con limite 0, quindi per il criterio di Abel la serie converge in -1.
Posso dunque concludere che la somma è continua in $[-1,1[$, giusto?
Se x=-1 posso dire che la serie converge applicando il teorema di Leibnitz, visto che $(n)/(1+n^2)$ è monotona decrescente con limite 0, quindi per il criterio di Abel la serie converge in -1.
Posso dunque concludere che la somma è continua in $[-1,1[$, giusto?
Giusto. Il teorema di Abel serve a garantire la continuità in $-1$.
Grazie mille!!!
Intervengo per chiedere conferma di quanto ho letto.
Il Teorema di Abel mi dice che, data una serie di potenze, se ho la convergenza anche solo puntuale su $z_0$ allora la serie converge uniformemente su tutto il segmento $\[0, z_0 \]$, compatto cioè compresi gli estremi. Corretto?
Quindi poiché so che data una serie di funzioni continue $f_1(x) + f_2(x) + ...$ con $lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x)$ uniformemente, allora $f(x)$ è continua, il T. di Abel mi garantisce la continuità nel punto $z_0$. Così posso giustificare il fatto che $log(2) = \sum (-1)^n \frac{1}{n}$. Sbaglio?
Grazie
Il Teorema di Abel mi dice che, data una serie di potenze, se ho la convergenza anche solo puntuale su $z_0$ allora la serie converge uniformemente su tutto il segmento $\[0, z_0 \]$, compatto cioè compresi gli estremi. Corretto?
Quindi poiché so che data una serie di funzioni continue $f_1(x) + f_2(x) + ...$ con $lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x)$ uniformemente, allora $f(x)$ è continua, il T. di Abel mi garantisce la continuità nel punto $z_0$. Così posso giustificare il fatto che $log(2) = \sum (-1)^n \frac{1}{n}$. Sbaglio?
Grazie
Ok. Solo una piccola svista qui:
"Fingolfin":Stai parlando di serie di funzioni, non di successioni di funzioni. Quello che deve convergere è la successione delle somme parziali \( S_n(x)=f_1(x)+ \ldots + f_n(x)\).
Quindi poiché so che data una serie di funzioni continue $f_1(x) + f_2(x) + ...$ con $lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x)$ uniformemente, allora $f(x)$ è continua,
giustissimo hai ragione!
grazie
grazie
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