Esercizio serie di Luarent
Buongiorno a tutti!
Vorrei chiedervi se ho svolto correttamente o meno il seguente esercizio.
"Scrivere la serie di Laurent per la funzione $f(z)=1/[(z-3)(z-5)]$, prima attorno a $z_0=0$ e poi attorno a $z_0=3$."
Si può riscrivere la funzione in fratti elementari in questo modo: $f(z)=(-1/2)/(z-3)+(1/2)/(z-5)$.
Iniziamo considerando $z_0=0$.
La serie si può sviluppare in tre diversi settori, cioè: $|z|<3$, $3<|z|<5$ e infine $|z|>5$.
Per $|z|<3$.
Si ha che: $f(z)=(-1/2)/[-3(1-z/3)]+(1/2)/[-5(1-z/5)]$, da cui $f(z)=1/2\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/3^(n+1)-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/5^(n+1)$.
Per $3<|z|<5$.
Si ha che: $f(z)=(-1/2)/[z(1-3/z)]+(1/2)/[-5(1-z/5)]$, da cui $f(z)=-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)3^n/z^(n+1)-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/5^(n+1)$.
Per $|z|>5$.
Si ha che: $f(z)=(-1/2)/[z(1-3/z)]+(1/2)/[z(1-5/z)]$, da cui $f(z)=-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)3^n/z^(n+1)+1/2\sum_{n=0}^(+\infty)5^n/z^(n+1)$.
Consideriamo ora $z_0=3$. Si individuano due settori di sviluppo, ovvero: $|z-3|<2$ e $|z-3|>2$.
In entrambi i casi, il fattore $(-1/2)/(z-3)$ fa già parte della serie di Laurent, pertanto non verrà "intaccato".
Per $|z-3|<2$.
Si ha: $(1/2)/(z-5)=(1/2)/[-2(1-(z-3)/2)]$, da cui $f(z)=-1/[2(z-3)]-1/4\sum_{n=0}^(+\infty)((z-3)/2)^n=-1/[2(z-3)]-\sum_{n=0}^(+\infty)(z-3)^n/2^(n+2)$.
Per $|z-3|>2$.
Si ha: $(1/2)/(z-5)=(1/2)/(z-3-2)=(1/2)/[(z-3)(1-2/(z-3))]$, da cui si ottiene in definitiva
$f(z)=-1/[2(z-3)]+1/[2(z-3)]\sum_{n=0}^(+\infty)(2/(z-3))^n=-1/[2(z-3)]+\sum_{n=0}^(+\infty)2^(n-1)/(z-3)^(n+1)$.
Grazie a tutti
Vorrei chiedervi se ho svolto correttamente o meno il seguente esercizio.
"Scrivere la serie di Laurent per la funzione $f(z)=1/[(z-3)(z-5)]$, prima attorno a $z_0=0$ e poi attorno a $z_0=3$."
Si può riscrivere la funzione in fratti elementari in questo modo: $f(z)=(-1/2)/(z-3)+(1/2)/(z-5)$.
Iniziamo considerando $z_0=0$.
La serie si può sviluppare in tre diversi settori, cioè: $|z|<3$, $3<|z|<5$ e infine $|z|>5$.
Per $|z|<3$.
Si ha che: $f(z)=(-1/2)/[-3(1-z/3)]+(1/2)/[-5(1-z/5)]$, da cui $f(z)=1/2\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/3^(n+1)-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/5^(n+1)$.
Per $3<|z|<5$.
Si ha che: $f(z)=(-1/2)/[z(1-3/z)]+(1/2)/[-5(1-z/5)]$, da cui $f(z)=-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)3^n/z^(n+1)-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/5^(n+1)$.
Per $|z|>5$.
Si ha che: $f(z)=(-1/2)/[z(1-3/z)]+(1/2)/[z(1-5/z)]$, da cui $f(z)=-1/2\sum_{n=0}^(+\infty)3^n/z^(n+1)+1/2\sum_{n=0}^(+\infty)5^n/z^(n+1)$.
Consideriamo ora $z_0=3$. Si individuano due settori di sviluppo, ovvero: $|z-3|<2$ e $|z-3|>2$.
In entrambi i casi, il fattore $(-1/2)/(z-3)$ fa già parte della serie di Laurent, pertanto non verrà "intaccato".
Per $|z-3|<2$.
Si ha: $(1/2)/(z-5)=(1/2)/[-2(1-(z-3)/2)]$, da cui $f(z)=-1/[2(z-3)]-1/4\sum_{n=0}^(+\infty)((z-3)/2)^n=-1/[2(z-3)]-\sum_{n=0}^(+\infty)(z-3)^n/2^(n+2)$.
Per $|z-3|>2$.
Si ha: $(1/2)/(z-5)=(1/2)/(z-3-2)=(1/2)/[(z-3)(1-2/(z-3))]$, da cui si ottiene in definitiva
$f(z)=-1/[2(z-3)]+1/[2(z-3)]\sum_{n=0}^(+\infty)(2/(z-3))^n=-1/[2(z-3)]+\sum_{n=0}^(+\infty)2^(n-1)/(z-3)^(n+1)$.
Grazie a tutti
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