Esercizio serie di Laurent

[fede161]

Ciao ragazzi,

sto svolgendo un esercizio sulle serie di Laurent.
L'esercizio chiede di espandere $ f(z)=1/((z+1)(z+3) $ in serie di Laurent valida nei seguenti casi.

1) |z|> 3
2) |z|< 1

Poichè la funzione si può anche scrivere nel modo seguente $ f(z)=1/((z+1)(z+3))=1/(2(z+1))-1/(2(z+3) $

allora nel caso 1 possiamo scrivere

$ 1/(2(z+3))= 1/(2z)1/(1+3/z)= 1/(2z)(1-3/z+9/z^2-27/z^3+...) $

a questo punto il libro conclude l'esercizio dicendo che

$ f(z)= 1/z^2 -4/z^3 + 13/z^4-... $

Francamente non riesco a capire perchè... magari è solo una questione di conti, ma non riesco a capire come fa!
Me lo potreste dire?

grazie in anticipo per la risposta!

[DavideGenova1]

Si è usato lo sviluppo di Taylor $1/(1+w)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n$ valido per \(w\in\mathbb{C},|w|<1\) sia per $w=3/z$ sia per $w=1/z$, ottenendo per il primo la formula del testo e per il secondo $1/(2(z+1))=1/(2z)1/(1+1/z)=1/(2z) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (1/z)^n$ e quindi $f(z)=1/(2z) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (1/z)^n-1/(2z) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (3/z)^n=1/2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(1-3^n)z^{-n-1}$.

Per il caso (2) in cui \(|z|<1\) direi che si possa usare ancora $1/(1+w)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n,|w|<1$ notando che $f(z)=1/(2(z+1))-1/6 1/(z/3 +1)$ e $|z/3|<1$.
Ciao!