Esercizio Serie di funzioni (conv. puntuale, totale, uniforme)
Ciao a tutti, dovrei (sperare) di risolvere questo esercizio:
Studiare l'insieme di convergenza assoluta, puntale, totale e uniforme della serie:
$\sum_{n=1}^{+ \infty} (1- \arctan (\frac{1}{n}) ) ^n (x^2-2x)^n$
Facendo tutte le considerazioni del caso sono riuscito a trovare l'insieme di convergenza assoluta e puntuale: $I = (1-\sqrt{2};1) \cup (1; 1+\sqrt{2})$ che facendo un grafico della funzione dovrebbe essere giusto.
Adesso, ho qualche problema con la convergenza totale, usando il criterio di Weierstrass dovrei maggiorare la serie, il punto è proprio questo... dato che la base dell'esponenziale è sempre $<1$ in I è massimo agli estremi e per $x=1$, in cui fa in entrambi i casi 1... quindi mi viene da dire che converge totalmente in ogni intervallo di qualche tipo contenuto in ognuno dei due intervalli, tipo $[K, H]$ contenuto per esempio in $(1-\sqrt{2};1)$, se x sta in $[K,H]$ o H o K mi danno un massimo della base dell'esponenziale, che comunque è minore 1 e per il criterio della radice la serie maggiorante converge e quindi il resto... solo insomma come dirlo (ammesso sia un ragionamento da qualche parte corretto) in modo più matematichese?
Già che scrivo qui volevo proporre un altro dubbio riguardo un'altro esercizio, devo studiare la convergenza della serie
$ \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1+\ln (n^3)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3 \ln(e n)}$
facendo il limite della successione per $n \rightarrow +\infty$ viene $0$ quindi la serie potrebbe convergere. Però posso dire
$ln(x)
Grazie a tutti
Studiare l'insieme di convergenza assoluta, puntale, totale e uniforme della serie:
$\sum_{n=1}^{+ \infty} (1- \arctan (\frac{1}{n}) ) ^n (x^2-2x)^n$
Facendo tutte le considerazioni del caso sono riuscito a trovare l'insieme di convergenza assoluta e puntuale: $I = (1-\sqrt{2};1) \cup (1; 1+\sqrt{2})$ che facendo un grafico della funzione dovrebbe essere giusto.
Adesso, ho qualche problema con la convergenza totale, usando il criterio di Weierstrass dovrei maggiorare la serie, il punto è proprio questo... dato che la base dell'esponenziale è sempre $<1$ in I è massimo agli estremi e per $x=1$, in cui fa in entrambi i casi 1... quindi mi viene da dire che converge totalmente in ogni intervallo di qualche tipo contenuto in ognuno dei due intervalli, tipo $[K, H]$ contenuto per esempio in $(1-\sqrt{2};1)$, se x sta in $[K,H]$ o H o K mi danno un massimo della base dell'esponenziale, che comunque è minore 1 e per il criterio della radice la serie maggiorante converge e quindi il resto... solo insomma come dirlo (ammesso sia un ragionamento da qualche parte corretto) in modo più matematichese?
Già che scrivo qui volevo proporre un altro dubbio riguardo un'altro esercizio, devo studiare la convergenza della serie
$ \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1+\ln (n^3)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3 \ln(e n)}$
facendo il limite della successione per $n \rightarrow +\infty$ viene $0$ quindi la serie potrebbe convergere. Però posso dire
$ln(x)
Grazie a tutti
Risposte
"sebamac92":
Ciao a tutti, dovrei (sperare) di risolvere questo esercizio:
Studiare l'insieme di convergenza assoluta, puntale, totale e uniforme della serie:
$ \sum_{n=1}^{+ \infty} (1- \arctan (\frac{1}{n}) ) ^n (x^2-2x)^n $
Facendo tutte le considerazioni del caso sono riuscito a trovare l'insieme di convergenza assoluta e puntuale: $ I = (1-\sqrt{2};1) \cup (1; 1+\sqrt{2}) $ che facendo un grafico della funzione dovrebbe essere giusto.
Adesso, ho qualche problema con la convergenza totale, usando il criterio di Weierstrass dovrei maggiorare la serie, il punto è proprio questo... dato che la base dell'esponenziale è sempre $ <1 $ in I è massimo agli estremi e per $ x=1 $, in cui fa in entrambi i casi 1... quindi mi viene da dire che converge totalmente in ogni intervallo di qualche tipo contenuto in ognuno dei due intervalli, tipo $ [K, H] $ contenuto per esempio in $ (1-\sqrt{2};1) $, se x sta in $ [K,H] $ o H o K mi danno un massimo della base dell'esponenziale, che comunque è minore 1 e per il criterio della radice la serie maggiorante converge e quindi il resto... solo insomma come dirlo (ammesso sia un ragionamento da qualche parte corretto) in modo più matematichese?
Puoi dire che la serie converge totalmente in $x \in [a,b]$ e $x \in [c,d]$ con $1-sqrt2
Già che scrivo qui volevo proporre un altro dubbio riguardo un'altro esercizio, devo studiare la convergenza della serie
$ \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1+\ln (n^3)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3 \ln(e n)} $
facendo il limite della successione per $ n \rightarrow +\infty $ viene $ 0 $ quindi la serie potrebbe convergere. Però posso dire
$ ln(x) e dato che la serie minorante non converge allora non converge neanche quella data, dato che mathematica mi dice che non converge spero sia un ragionamento giusto, e in ogni caso volevo chiedere anche, si può arrivare ad un risultato considerando gli ordini di infinitesimo???
Grazie a tutti
Okay non ci avrei mai pensato a scriverlo così :S
Grazie mille.
Grazie mille.
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