Esercizio serie di funzioni a segno alterno

[Odysseo1]

Buongiorno a tutti, volevo chiedere come si risolve questo tipo di esercizio sulla convergenza di vari tipi su serie di funzioni con segno alterno.
L'esercizio è il seguente:
"Sia data la serie di funzioni su R: $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\frac{(x^2+1)e^{x\sqrt{k}}}{k}$. Determinare: (1) l'insieme A di convergenza puntuale della serie; (2) l'insieme B di convergenza assoluta e (3) in quale sottinsieme C$\subseteq$A la serie converge uniformemente."
Grazie anticipatamente a tutti

[dissonance]

Inizia a imporre la condizione necessaria alla convergenza. Poi ragioniamo.

[Odysseo1]

In questo caso so che almeno per $x\leq 0$ ho convergenza puntuale, ma a dir la verità non saprei dire (1) se la serie converge puntualmente anche per $x>0$; e (2) se converge uniformemente in $x\in (-\infty , 0]$, infatti non so a che funzione limite converga.

[anto_zoolander]

per $x>0$ quella cosa all'interno non ammette limite.
basta considerare che per $k$ pari va a $+infty$ e per $k$ dispari va a $-infty$

un'idea, per $xleq0$ potrebbe essere di maggiorarla con la successione dei sup e vedere la convergenza totale

[Odysseo1]

Ok ottimo, allora vediamo se ho capito. Assunto che per $x>0$ la serie è irregolare, considero il caso $x\leq 0$. Per quanto riguarda la convergenza assoluta noto che la serie di partenza è maggiorata da $(x^2+1)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{x\sqrt{k} }}{k}$, che, ricordando che $x\leq 0$, per $k$ crescente converge, così ho la convergenza assoluta in $(−\infty ,0]$. Per quella uniforme posso ragionare allo stesso modo perchè $(x^2+1)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{x\sqrt{k} }}{k}$ è sempre maggiore della serie di partenza e allora ho convergenza totale(che implica uniforme). E' esatto?