Esercizio serie di funzioni
Salve, stavo provando a risolvere un esercizio che mi chiedeva per quali $x>=0$ convergesse la serie così definita
$f_n(x)=((nx)^n)/(n!)$
Anzitutto come ho proceduto a verificare quando la convergenza è puntuale (che, correggetemi se sbaglio, è CNS affinché converga anche uniformemente).
Fissato x, mi ritrovavo dunque a dover risolvere una serie numerica $\sum_{n=1}^infty ((nx)^n)/(n!)$
A questo punto ho provato due differenti approcci (che tra le altre cose mi danno due differenti risultati ed entrambi differenti dalla soluzione che suggerisce il libro)
Per il criterio della radice, $\lim_{n \to \infty}(root(n)((nx)^n)/root(n)(n!))=lim_{n \to \infty}(nx)/e=infty$ che non converge mai
Per il criterio del rapporto invece ho che $\lim_{n \to \infty}((nx)^(n+1))/((n+1)!)*(n!)/(nx)^n=lim_{n \to \infty}(nx)/(n+1)=x$
che converge dunque $<=> x<1$
A cosa è dovuta tale differenza? Sicuramente faccio qualche errore ma non riesco proprio a capire cosa...
Inoltre il libro mi dice che converge per $x<1/e$, possibile si riferisca alla convergenza uniforme?
A proposito della convergenza uniforme, non mi è ancora chiarissimo quali siano le tecniche standard per vedere se la serie converga o no, dato che non abbiamo fatto alcun criterio, teorema o altro. In generale procedo sempre a vedere se la serie è totalmente convergente e provo a minorarla ad una serie convergente/maggiorarla ad una divergente, ma se non è totalmente convergente come devo procedere?
Anche qui di solito minoro alla stessa serie sostituendo però alla x il valore che corrisponde al max del termine generale, ma ciò non è sempre possibile, dato che alcune sono monotone o comunque non ammettono max in R
$f_n(x)=((nx)^n)/(n!)$
Anzitutto come ho proceduto a verificare quando la convergenza è puntuale (che, correggetemi se sbaglio, è CNS affinché converga anche uniformemente).
Fissato x, mi ritrovavo dunque a dover risolvere una serie numerica $\sum_{n=1}^infty ((nx)^n)/(n!)$
A questo punto ho provato due differenti approcci (che tra le altre cose mi danno due differenti risultati ed entrambi differenti dalla soluzione che suggerisce il libro)
Per il criterio della radice, $\lim_{n \to \infty}(root(n)((nx)^n)/root(n)(n!))=lim_{n \to \infty}(nx)/e=infty$ che non converge mai
Per il criterio del rapporto invece ho che $\lim_{n \to \infty}((nx)^(n+1))/((n+1)!)*(n!)/(nx)^n=lim_{n \to \infty}(nx)/(n+1)=x$
che converge dunque $<=> x<1$
A cosa è dovuta tale differenza? Sicuramente faccio qualche errore ma non riesco proprio a capire cosa...
Inoltre il libro mi dice che converge per $x<1/e$, possibile si riferisca alla convergenza uniforme?
A proposito della convergenza uniforme, non mi è ancora chiarissimo quali siano le tecniche standard per vedere se la serie converga o no, dato che non abbiamo fatto alcun criterio, teorema o altro. In generale procedo sempre a vedere se la serie è totalmente convergente e provo a minorarla ad una serie convergente/maggiorarla ad una divergente, ma se non è totalmente convergente come devo procedere?
Anche qui di solito minoro alla stessa serie sostituendo però alla x il valore che corrisponde al max del termine generale, ma ciò non è sempre possibile, dato che alcune sono monotone o comunque non ammettono max in R
Risposte
Ehm, calma... Perdonami se ti dico che hai scritto molte boiate.
Partiamo dalle definizioni. Una serie di funzioni converge puntualmente, o semplicemente, se converge puntualmente la sua successione dell ridotte (dette anche somme parziali). Invece converge uniformemente se tale successione converge uniformemente.
Di solito, guardare esplicitamente tale successione è infattibile, e quindi si usano altri criteri. Devi però sempre ricordarti che la convergenza puntuale è NECESSARIA alla convergenza uniforme ma non è SUFFICIENTE.
Dato che qui hai una serie di potenze con $a_n = (n^n)/(n!)$, ci sono molti risultati che ti dicono come converge tale serie. il tuo scopo è calcolare il raggio di convergenza $rho$, dato che sai in automatico che la serie convergerà puntualmente in $(-|rho|, |rho|)$ e totalmente (e quindi uniformemente) nei compatti contenuti in tale intervallo.
Per calcolare $rho$ hai due criteri, radice o rapporto, e quando hai un termine $n^n$ la scelta giusta è quasi sempre radice.
Ora, usando il criterio della radice ottieni che $lim_{n->+infty} n/(root(n)(n!)) = e$, ed ecco dunque che il tuo raggio di convergenza è $1/e$. A questo punto concludi tu
Ti consiglio di studiare ancora la teoria (sono poche pagine) perchè mi pare tu non abbia ben chiara la differenza tra le varie forme di convergenza. Leggiti anche meglio come si applicano criterio del rapporto e della radice e capirai subito dove hai sbagliato.
Partiamo dalle definizioni. Una serie di funzioni converge puntualmente, o semplicemente, se converge puntualmente la sua successione dell ridotte (dette anche somme parziali). Invece converge uniformemente se tale successione converge uniformemente.
Di solito, guardare esplicitamente tale successione è infattibile, e quindi si usano altri criteri. Devi però sempre ricordarti che la convergenza puntuale è NECESSARIA alla convergenza uniforme ma non è SUFFICIENTE.
Dato che qui hai una serie di potenze con $a_n = (n^n)/(n!)$, ci sono molti risultati che ti dicono come converge tale serie. il tuo scopo è calcolare il raggio di convergenza $rho$, dato che sai in automatico che la serie convergerà puntualmente in $(-|rho|, |rho|)$ e totalmente (e quindi uniformemente) nei compatti contenuti in tale intervallo.
Per calcolare $rho$ hai due criteri, radice o rapporto, e quando hai un termine $n^n$ la scelta giusta è quasi sempre radice.
Ora, usando il criterio della radice ottieni che $lim_{n->+infty} n/(root(n)(n!)) = e$, ed ecco dunque che il tuo raggio di convergenza è $1/e$. A questo punto concludi tu
Ti consiglio di studiare ancora la teoria (sono poche pagine) perchè mi pare tu non abbia ben chiara la differenza tra le varie forme di convergenza. Leggiti anche meglio come si applicano criterio del rapporto e della radice e capirai subito dove hai sbagliato.
Grazie per la risposta!
Anzitutto si, ovviamente la condizione è solo necessaria mi son solo confuso a scrivere
Per quanto riguarda il risultato dell'esercizio non abbiamo ancora svolto le serie di potenze quindi credo si possa risolvere anche senza quella parte lì..
Ho capito quale era l'errore invece nel criterio della radice (radice n-esima di n! fa infinito) ma per quanto riguarda il criterio del rapporto invece? Tutti i passaggi continuano a tornarmi..
Anzitutto si, ovviamente la condizione è solo necessaria mi son solo confuso a scrivere
Per quanto riguarda il risultato dell'esercizio non abbiamo ancora svolto le serie di potenze quindi credo si possa risolvere anche senza quella parte lì..
Ho capito quale era l'errore invece nel criterio della radice (radice n-esima di n! fa infinito) ma per quanto riguarda il criterio del rapporto invece? Tutti i passaggi continuano a tornarmi..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo