Esercizio serie di funzioni
Buongiorno, ho un problema con questo esercizio sulle serie di funzioni. A dire il vero ho difficoltà sulla maggior parte di questi esercizi, quindi vi chiedo un consiglio su come procedere. Ho ristudiato la teoria ed ho fatto un "formulario" per i primi esercizi, ma niente 
Venendo al dunque questo è l'esercizio:
Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della
serie di funzioni \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \lgroup \frac{x^2-3}{2x} \rgroup^n \)
Ho pensato di porre \(\displaystyle t=\lgroup \frac{x^2-3}{2x} \rgroup \), di modo da ricondurmi alla forma delle serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} t^n \)
A questo punto calcolo il raggio di convergenza con il criterio del rapporto ed ottengo
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{n^3}{n^4}} \), il risultato è 0 e quindi \(\displaystyle R=\infty \)
Se non erro, ho ottenuto che per la serie in questione ho convergenza assoluta (e quindi puntuale) su tutto \(\displaystyle \Re \)
Per quanto riguarda la convergenza totale e uniforme, invece, mi sono bloccato. Ho provato a calcolare l'eventuale massimo della funzione facendone la derivata ma ho riscontrato dei problemi. Aiuti?
Venendo al dunque questo è l'esercizio:
Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della
serie di funzioni \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \lgroup \frac{x^2-3}{2x} \rgroup^n \)
Ho pensato di porre \(\displaystyle t=\lgroup \frac{x^2-3}{2x} \rgroup \), di modo da ricondurmi alla forma delle serie di potenze \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} t^n \)
A questo punto calcolo il raggio di convergenza con il criterio del rapporto ed ottengo
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{n^3}{n^4}} \), il risultato è 0 e quindi \(\displaystyle R=\infty \)
Se non erro, ho ottenuto che per la serie in questione ho convergenza assoluta (e quindi puntuale) su tutto \(\displaystyle \Re \)
Per quanto riguarda la convergenza totale e uniforme, invece, mi sono bloccato. Ho provato a calcolare l'eventuale massimo della funzione facendone la derivata ma ho riscontrato dei problemi. Aiuti?
Risposte
Ciao. Ricordo un teorema sulle serie di potenze che dice che se la serie di potenze converge puntualmente in $]-R, R[$ dove R è il raggio così calcolato, allora converge totalmente, uniformemente, ecc..., in ogni intervallo chiuso $[-r,r]$ con $r
Ho trovato anche io questo teorema nei miei appunti, solo che ho come ipotesi che la serie converga in un punto x1 diverso dal centro. Per cui non era specificata il tipo di convergenza e quindi non pensavo di poterlo utilizzare. In conclusione posso semplicemente affermare che la serie converge totalmente (e quindi anche puntualmente, assolutamente e uniformemente) in tutto R?
PS: volevo chiedere ai moderatori se posso aprire, successivamente, degli altri topic con esercizi su cui ho dei dubbi o se c'è un limite ai post (ovviamente non 10 al giorno!).
PS: volevo chiedere ai moderatori se posso aprire, successivamente, degli altri topic con esercizi su cui ho dei dubbi o se c'è un limite ai post (ovviamente non 10 al giorno!).
Riassumo lo svolgimento dell'esercizio da quello che ho capito riguardando la teoria (grazie anche al consiglio di Zero87):
Dopo aver fatto la sostituzione con t ed ottenuto il raggio di convergenza \(\displaystyle R=\infty \), ne deduco che ho convergenza assoluta (e quindi puntuale) su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), mentre ho convergenza totale (e anche uniforme) in ogni intervallo chiuso e limitato!
Adesso mi chiedo: ho svolto i miei calcoli considerando t. Noto, però, che per \(\displaystyle x \rightarrow 0 , \frac{x^2-3}{2x} \rightarrow \infty \). Quindi devo escludere lo 0 dai miei insiemi di convergenza? Grazie anticipatamente
Dopo aver fatto la sostituzione con t ed ottenuto il raggio di convergenza \(\displaystyle R=\infty \), ne deduco che ho convergenza assoluta (e quindi puntuale) su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), mentre ho convergenza totale (e anche uniforme) in ogni intervallo chiuso e limitato!
Adesso mi chiedo: ho svolto i miei calcoli considerando t. Noto, però, che per \(\displaystyle x \rightarrow 0 , \frac{x^2-3}{2x} \rightarrow \infty \). Quindi devo escludere lo 0 dai miei insiemi di convergenza? Grazie anticipatamente
"Enri93":
Per cui non era specificata il tipo di convergenza e quindi non pensavo di poterlo utilizzare. In conclusione posso semplicemente affermare che la serie converge totalmente (e quindi anche puntualmente, assolutamente e uniformemente) in tutto R?
Io direi così in base a quel teorema di cui ricordo l'esistenza. Ma comunque mi sono laureato più di tre anni fa quindi se arrivano consigli più freschi dei miei prendili volentieri e dimentica quanto ti ho detto.
"Enri93":
Noto, però, che per \( \displaystyle x \rightarrow 0 , \frac{x^2-3}{2x} \rightarrow \infty \). Quindi devo escludere lo 0 dai miei insiemi di convergenza? Grazie anticipatamente
Devi escluderlo semplicemente perché non è definito il termine generale della serie a prescindere dalla convergenza.
Ciao, sono d'accordo con la posizione:
$ t= (x^2-3)/(2x) $ , utile al fine di ottenere una serie di potenze. In questo modo ottieni una serie di potenze di punto iniziale zero.
Mi trovo invece in disaccordo con il risultato ottenuto dal limite applicando il criterio del rapporto.
Infatti nota che devi calcolare il:
$ lim_(n -> +oo) |a_(n+1) /a_n| $ , ovvero:
$ lim_(n -> +oo) |1/(n+1)^3 /1/n^3|= lim_(n->+oo)|n^3/(n+1)^3| = 1 $ , per confronto tra infiniti.
Quindi il tuo raggio di convergenza è 1 e, per un noto teorema sulle serie di potenze, si ha che la serie converge puntualmente e assolutamente in (-1,1). Devi verificare naturalmente il comportamento agli estremi -1 e 1 sostituendo tali valori alla serie in t e studiando le due serie ottenute. Comunque non credo che lo zero sia da escludere in tale intervallo, perché ricorda che hai effettuato la posizione: $ t= (x^2-3)/(2x) $, quindi è la t a variare tra -1 e 1 e per questa non c'è alcun problema. Devi però di valutare i valori assunti dalla x in tale intervallo.
In sostanza devi risolvere il sistema:
$ { ( (x^2-3)/(2x)<1 ),( (x^2-3)/(2x)> -1 ):} $
Per provare l'uniforme convergenza puoi sfruttare il Criterio di Weierstrass (M-test) che, provando la totale convergenza, ne prova anche l'uniforme, sussistendo l'implicazione (c. totale -> c. uniforme -> c. puntuale). Oppure puoi ricordare il teorema sulle serie di potenze per cui si ha che le serie di potenze convergono totalmente in ogni sottointervallo chiuso e limitato del tipo $ [c-rho , c+rho ] $ , con $ rho in (0,r) $ , detto r il raggio di convergenza della serie di potenze.
$ t= (x^2-3)/(2x) $ , utile al fine di ottenere una serie di potenze. In questo modo ottieni una serie di potenze di punto iniziale zero.
Mi trovo invece in disaccordo con il risultato ottenuto dal limite applicando il criterio del rapporto.
Infatti nota che devi calcolare il:
$ lim_(n -> +oo) |a_(n+1) /a_n| $ , ovvero:
$ lim_(n -> +oo) |1/(n+1)^3 /1/n^3|= lim_(n->+oo)|n^3/(n+1)^3| = 1 $ , per confronto tra infiniti.
Quindi il tuo raggio di convergenza è 1 e, per un noto teorema sulle serie di potenze, si ha che la serie converge puntualmente e assolutamente in (-1,1). Devi verificare naturalmente il comportamento agli estremi -1 e 1 sostituendo tali valori alla serie in t e studiando le due serie ottenute. Comunque non credo che lo zero sia da escludere in tale intervallo, perché ricorda che hai effettuato la posizione: $ t= (x^2-3)/(2x) $, quindi è la t a variare tra -1 e 1 e per questa non c'è alcun problema. Devi però di valutare i valori assunti dalla x in tale intervallo.
In sostanza devi risolvere il sistema:
$ { ( (x^2-3)/(2x)<1 ),( (x^2-3)/(2x)> -1 ):} $
Per provare l'uniforme convergenza puoi sfruttare il Criterio di Weierstrass (M-test) che, provando la totale convergenza, ne prova anche l'uniforme, sussistendo l'implicazione (c. totale -> c. uniforme -> c. puntuale). Oppure puoi ricordare il teorema sulle serie di potenze per cui si ha che le serie di potenze convergono totalmente in ogni sottointervallo chiuso e limitato del tipo $ [c-rho , c+rho ] $ , con $ rho in (0,r) $ , detto r il raggio di convergenza della serie di potenze.
"salt21":
Mi trovo invece in disaccordo con il risultato ottenuto dal limite applicando il criterio del rapporto.
Mi scuso perché non avevo controllato la bontà dei calcoli, pensando fossero giusti.
Figurati, non è necessario scusarsi per questo
Spero che i miei ragionamenti siano corretti
Spero che i miei ragionamenti siano corretti
"salt21":
Ciao, sono d'accordo con la posizione:
$ t= (x^2-3)/(2x) $ , utile al fine di ottenere una serie di potenze. In questo modo ottieni una serie di potenze di punto iniziale zero.
Mi trovo invece in disaccordo con il risultato ottenuto dal limite applicando il criterio del rapporto.
Infatti nota che devi calcolare il:
$ lim_(n -> +oo) |a_(n+1) /a_n| $ , ovvero:
$ lim_(n -> +oo) |1/(n+1)^3 /1/n^3|= lim_(n->+oo)|n^3/(n+1)^3| = 1 $ , per confronto tra infiniti.
Quindi il tuo raggio di convergenza è 1 e, per un noto teorema sulle serie di potenze, si ha che la serie converge puntualmente e assolutamente in (-1,1). Devi verificare naturalmente il comportamento agli estremi -1 e 1 sostituendo tali valori alla serie in t e studiando le due serie ottenute. Comunque non credo che lo zero sia da escludere in tale intervallo, perché ricorda che hai effettuato la posizione: $ t= (x^2-3)/(2x) $, quindi è la t a variare tra -1 e 1 e per questa non c'è alcun problema. Devi però di valutare i valori assunti dalla x in tale intervallo.
In sostanza devi risolvere il sistema:
$ { ( (x^2-3)/(2x)<1 ),( (x^2-3)/(2x)> -1 ):} $
Per provare l'uniforme convergenza puoi sfruttare il Criterio di Weierstrass (M-test) che, provando la totale convergenza, ne prova anche l'uniforme, sussistendo l'implicazione (c. totale -> c. uniforme -> c. puntuale). Oppure puoi ricordare il teorema sulle serie di potenze per cui si ha che le serie di potenze convergono totalmente in ogni sottointervallo chiuso e limitato del tipo $ [c-rho , c+rho ] $ , con $ rho in (0,r) $ , detto r il raggio di convergenza della serie di potenze.
Hai proprio ragione! Ho sbagliato il calcolo del limite...grazie mille per la dritta!
Di nulla! Fammi sapere se ti trovi col mio ragionamento
"salt21":
Di nulla! Fammi sapere se ti trovi col mio ragionamento
Si, credo proprio che sia corretto! Se ti va ho aperto un altro topic sempre sulle serie di funzioni...vediamo se questa volta sono riuscito a cavarmela da solo
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