Esercizio serie di funzioni
Qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizo?
Stabilire per quali x appartenenti a R risulta convergente la serie
fn(x)= $3^(x/n)−2^(1/n)$ se x≥0
$ (n!)/(nx)^n$ se x<0
Quella per x<0 ho usato la convergenza assoluta e poi il criterio del rapporto e mi trovo ma quella per x≥0 non so cosa fare.
Stabilire per quali x appartenenti a R risulta convergente la serie
fn(x)= $3^(x/n)−2^(1/n)$ se x≥0
$ (n!)/(nx)^n$ se x<0
Quella per x<0 ho usato la convergenza assoluta e poi il criterio del rapporto e mi trovo ma quella per x≥0 non so cosa fare.
Risposte
1) osserviamo che se $x=log_3 2$si ha $3^(x/n)=2^(1/n)$; quindi tutti i termini della serie sono nulli e la serie naturalmente converge
la serie è tutta a termini positivi se $x >log_3 2$,altrimenti è tutta a termini negativi(ma dal punto di vista del suo carattere la si può trattare come una serie a termini positivi)
poniamo $1/n=z$
se si calcola il seguente limite $ lim_(z -> 0) (3^(xz)-2^z)/z $ con De L'Hopital si vede che il risultato è un numero diverso da zero
ricordando la sostituzione fatta,abbiamo dimostrato che per $x ne log_3 2$ la serie ha lo stesso carattere della serie armonica e quindi diverge
la serie è tutta a termini positivi se $x >log_3 2$,altrimenti è tutta a termini negativi(ma dal punto di vista del suo carattere la si può trattare come una serie a termini positivi)
poniamo $1/n=z$
se si calcola il seguente limite $ lim_(z -> 0) (3^(xz)-2^z)/z $ con De L'Hopital si vede che il risultato è un numero diverso da zero
ricordando la sostituzione fatta,abbiamo dimostrato che per $x ne log_3 2$ la serie ha lo stesso carattere della serie armonica e quindi diverge
Grazie 
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