Esercizio Serie di funzioni
Io ho questa serie:
$\sum_{n=1}^infty (5 + n!)*((x-4)/x)^(n^2)$
e devo determinare:
1) dove converge assolutamente;
2) se converge uniformemente in [3,5];
3) determinare l'intervallo generico di conv. uniforme.
Io l'ho risolto, però vorrei sapere se il mio procedimento è giusto...
Io ho fatto in questa maniera:
1) Utilizzando il criterio del rapporto ho fatto:
$ |(a_(n+1)) / a_n| = ( (5+(n+1)!)*|(x-4)/x|^((n+1)^2)) / ((5+n!)*|(x-4)/x|^(n^2)) = (n+1)*|(x-4)/x|^(2n+1)* (1+o(1))$
pertanto la serie convergerà assolutamenteper -> $|(x-4)/x|^(2n+1) <1$ ---> $ x>2 $
2) Per verificare se converge uniformemente ho posto:
$ f_n (x) =(5 + n!)*((x-4)/x)^(n^2)$ e devo verificare se $ Sup_(x in [3,5]) |f_n(x) -f(x)| < infty$
Mi calcolo $f_n(3)$ e $f_n(5)$ e si verifica facilmente che in entrambi i casi $f_n -> 0$
pertanto la convergenza uniforme è verificata in tale intervallo.
3) Utilizzando Weirstrass mi cerco un intervallo per la quale possa valere la convergenza uniforme, ovvero mi serve un
$delta > 0$ per la quale io possa avere un intervallo di convergenza uniforme.
Io so che la serie converge assolutamente in $ (2, + infty)$ e che converge assolutamente in $[3,5]$ e sicuramente per tutti i valori maggiori di 2 ( poiché per tutti i valori maggiori di 2 $lim_( n->infty) f_n(x) =0$ )
Pertanto l'intervallo generico di convergenza assoluta sarà -> $[2+delta, + infty)$
E' giusto il ragionamento???
Grazie in anticipo!
$\sum_{n=1}^infty (5 + n!)*((x-4)/x)^(n^2)$
e devo determinare:
1) dove converge assolutamente;
2) se converge uniformemente in [3,5];
3) determinare l'intervallo generico di conv. uniforme.
Io l'ho risolto, però vorrei sapere se il mio procedimento è giusto...
Io ho fatto in questa maniera:
1) Utilizzando il criterio del rapporto ho fatto:
$ |(a_(n+1)) / a_n| = ( (5+(n+1)!)*|(x-4)/x|^((n+1)^2)) / ((5+n!)*|(x-4)/x|^(n^2)) = (n+1)*|(x-4)/x|^(2n+1)* (1+o(1))$
pertanto la serie convergerà assolutamenteper -> $|(x-4)/x|^(2n+1) <1$ ---> $ x>2 $
2) Per verificare se converge uniformemente ho posto:
$ f_n (x) =(5 + n!)*((x-4)/x)^(n^2)$ e devo verificare se $ Sup_(x in [3,5]) |f_n(x) -f(x)| < infty$
Mi calcolo $f_n(3)$ e $f_n(5)$ e si verifica facilmente che in entrambi i casi $f_n -> 0$
pertanto la convergenza uniforme è verificata in tale intervallo.
3) Utilizzando Weirstrass mi cerco un intervallo per la quale possa valere la convergenza uniforme, ovvero mi serve un
$delta > 0$ per la quale io possa avere un intervallo di convergenza uniforme.
Io so che la serie converge assolutamente in $ (2, + infty)$ e che converge assolutamente in $[3,5]$ e sicuramente per tutti i valori maggiori di 2 ( poiché per tutti i valori maggiori di 2 $lim_( n->infty) f_n(x) =0$ )
Pertanto l'intervallo generico di convergenza assoluta sarà -> $[2+delta, + infty)$
E' giusto il ragionamento???
Grazie in anticipo!
Risposte
"Giovao6":
1) Utilizzando il criterio del rapporto ho fatto:
$ |(a_(n+1)) / a_n| = ( (5+(n+1)!)*|(x-4)/x|^((n+1)^2)) / ((5+n!)*|(x-4)/x|^(n^2)) = (n+1)*|(x-4)/x|^(2n+1)* (1+o(1))$
pertanto la serie convergerà uniformemente per -> $|(x-4)/x|^(2n+1) <1$ ---> $ x>2 $
Volevi scrivere puntualmente, immagino.
"Giovao6":
2) Per verificare se converge uniformemente ho posto:
$ f_n (x) =(5 + n!)*((x-4)/x)^(n^2)$ e devo verificare se $ Sup_(x in [3,5]) |f_n(x) -f(x)| < infty$
Mi calcolo $f_n(3)$ e $f_n(5)$ e si verifica facilmente che in entrambi i casi $f_n -> 0$
pertanto la convergenza uniforme è verificata in tale intervallo.
Qui non capisco che procedimento stai seguendo. Per dimostrare che la tua serie di funzioni converge uniformemente in $[3,5]$ puoi provare a vedere se c'è convergenza totale. Non mi sembra tu l'abbia fatto...
"Giovao6":
2) Per verificare se converge uniformemente ho posto:
$ f_n (x) =(5 + n!)*((x-4)/x)^(n^2)$ e devo verificare se $ Sup_(x in [3,5]) |f_n(x) -f(x)| < infty$
Mi calcolo $f_n(3)$ e $f_n(5)$ e si verifica facilmente che in entrambi i casi $f_n -> 0$
pertanto la convergenza uniforme è verificata in tale intervallo.
"Seneca":
Qui non capisco che procedimento stai seguendo. Per dimostrare che la tua serie di funzioni converge uniformemente in $[3,5]$ puoi provare a vedere se c'è convergenza totale. Non mi sembra tu l'abbia fatto...
Si ho utilizzato il criterio di Weierstrass (o di convergenza totale) e sia per 3 che per 5 ottengo un'espressione del genere:
$ lim_(n->infty) (n!) / 3^(n^2) -> 0$ stessa storia con il 5 al posto del 3...
Per verificare tale limite ho utilizzato l'approssimazione di Stirling per il fattoriale
Poi per trovare l'intervallo di convergenza uniforme generico sono partito da quello di convergenza assoluta $(2,+infty)$.
La serie converge uniformemente per ogni valore maggiore di 2, pertanto in un intervallo generico del genere:
$ [2+ delta, +infty) , delta>0 $
Va bene il ragionamento?
Guarda che non va bene. A priori il fatto che $f_n(3) , f_n(5) \to 0$ per $n \to \infty$ non ti dice nulla. Il test di Weierstrass ti dice che se
\[ \sup_{x \in [3,5]} |f_n(x)| < M_n \;\;\;\; \forall n \;, \]
e \( \displaystyle \sum_{n} M_n < \infty \) allora c'è convergenza uniforme in $[3,5]$.
\[ \sup_{x \in [3,5]} |f_n(x)| < M_n \;\;\;\; \forall n \;, \]
e \( \displaystyle \sum_{n} M_n < \infty \) allora c'è convergenza uniforme in $[3,5]$.
"Seneca":
Guarda che non va bene. A priori il fatto che $f_n(3) , f_n(5) \to 0$ per $n \to \infty$ non ti dice nulla. Il test di Weierstrass ti dice che se
\[ \sup_{x \in [3,5]} |f_n(x)| < M_n \;\;\;\; \forall n \;, \]
e \( \displaystyle \sum_{n} M_n < \infty \) allora c'è convergenza uniforme in $[3,5]$.
Quindi come dovrei procedere?
se pongo $ (x-4)/x = y$
e considero la serie di funzioni come una serie di potenze del tipo:
$ sum_(n=1) ^infty (5+n!) y^(n^2) $ mi viene facendo $ lim_(n->infty) sqrt|f_n(x)|$ mi viene raggio di convergenza pari a 1
e l'intervallo di convergenza assoluta mi viene (-1,1).
Passando da y ad x mi viene -> $ -1 < (x-4)/x < 1$ , ovvero un intervallo di convergenza assoluta per x>2.
Può essere una maniera alternativa per risolvere il punto 1 dell'esercizio?
e considero la serie di funzioni come una serie di potenze del tipo:
$ sum_(n=1) ^infty (5+n!) y^(n^2) $ mi viene facendo $ lim_(n->infty) sqrt|f_n(x)|$ mi viene raggio di convergenza pari a 1
e l'intervallo di convergenza assoluta mi viene (-1,1).
Passando da y ad x mi viene -> $ -1 < (x-4)/x < 1$ , ovvero un intervallo di convergenza assoluta per x>2.
Può essere una maniera alternativa per risolvere il punto 1 dell'esercizio?
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