Esercizio serie di funzione e metodo logico di svolgimento
Salve a tutti, mi sto approcciando alle serie di funzioni e sto riscontrando diversi dubbi. Vi propongo qui di seguito un esercizio, spero possiate aiutarmi. Grazie in anticipo.
Traccia: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(1+nx^2)}$ x∈ [1, +oo]
Dunque anzitutto vorrei capire come si procede gradualmente, nel senso... io ho studiato la teoria, le varie convergenze etc, ma ogni esercizio su internet, magari anche lo stesso viene effettuato in svariati modi. Lo so che questa mia domanda può sembrare strana però vorrei uno schema logico.
Io partirei dal dominio quando studio una serie-> è il giusto approccio? il dominio va fatto rispetto ad x, è corretto?
In questo caso il dominio sarebbe tutto R
Dopodiché studio il limite della fn(x) per n->+00 e questo è zero. Questo vuol dire che la serie converge giusto? cioè che l'ultimo valore della serie si avvicina sempre più a zero tanto cresce "n"
Dopo aver stabilito questo come procedo?
Traccia: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(1+nx^2)}$ x∈ [1, +oo]
Dunque anzitutto vorrei capire come si procede gradualmente, nel senso... io ho studiato la teoria, le varie convergenze etc, ma ogni esercizio su internet, magari anche lo stesso viene effettuato in svariati modi. Lo so che questa mia domanda può sembrare strana però vorrei uno schema logico.
Io partirei dal dominio quando studio una serie-> è il giusto approccio? il dominio va fatto rispetto ad x, è corretto?
In questo caso il dominio sarebbe tutto R
Dopodiché studio il limite della fn(x) per n->+00 e questo è zero. Questo vuol dire che la serie converge giusto? cioè che l'ultimo valore della serie si avvicina sempre più a zero tanto cresce "n"
Dopo aver stabilito questo come procedo?
Risposte
"WhiteCell":
Traccia: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(1+nx^2)}$ x∈ [1, +oo]
Dunque anzitutto vorrei capire come si procede gradualmente, nel senso... io ho studiato la teoria, le varie convergenze etc, ma ogni esercizio su internet, magari anche lo stesso viene effettuato in svariati modi. Lo so che questa mia domanda può sembrare strana però vorrei uno schema logico.
Io partirei dal dominio quando studio una serie-> è il giusto approccio? il dominio va fatto rispetto ad x, è corretto?
In questo caso il dominio sarebbe tutto R
Sì \(\times 3\).
"WhiteCell":
Dopodiché studio il limite della fn(x) per n->+00 e questo è zero. Questo vuol dire che la serie converge giusto? cioè che l'ultimo valore della serie si avvicina sempre più a zero tanto cresce "n"
Mmmm... Con questo ragionamento anche la serie armonica \(\sum 1/n\) convergerebbe, ma così non è.
Quindi c'è qualcosa che non va, non trovi?
"WhiteCell":
Dopo aver stabilito questo come procedo?
Studi la convergenza totale, usando la definizione (possibilmente).
grazie anzitutto per la risposta, quindi l'approccio con lo studio del limite è sbagliato? per studiare la convergenza totale che implica l'uniforme mi devo avvalere di una successione Mn:= sup [con x ∈ I (intervallo) di fn(x)] applicando così il criterio di weierstrass. e dimostrare che questa Mn converge di modo che anche la serie di partenza converga. Ma come si trova il sup?
"WhiteCell":
grazie anzitutto per la risposta, quindi l'approccio con lo studio del limite è sbagliato?
Non è sbagliato... Semplicemente le informazioni che hai scritto sono insufficienti a stabilire la convergenza puntuale della tua serie: infatti, hai solo controllato che venga soddisfatta (per ogni \(x\)) la condizione necessaria alla convergenza, la quale, come ben dovresti sapere, ben si guarda dall'essere pure una condizione sufficiente (cfr. l'esempio della serie armonica).
"WhiteCell":
per studiare la convergenza totale che implica l'uniforme mi devo avvalere di una successione Mn:= sup [con x ∈ I (intervallo) di fn(x)] applicando così il criterio di weierstrass. e dimostrare che questa Mn converge di modo che anche la serie di partenza converga. Ma come si trova il sup?
E se al posto del \(\sup\) fosse lecito metterci un massimo, come procederesti?
derivata prima e la pongo uguale a zero?
"WhiteCell":
derivata prima e la pongo uguale a zero?
Certo.
Dopotutto, quello della determinazione dei massimi di una funzione regolare è un classico problema di Caclolo Differenziale.
Il "vero" problema qui, però, è che non puoi limitarti a considerare i massimi interni al dominio, ma devi guardare anche cosa accade agli estremi (cosa che dovresti fare comunque, perché, ad esempio, anche la funzione regolarissima \(f(x):=x^3\) ristretta a \([-1,2]\) prende il suo massimo ed il suo minimo sul bordo dell'intervallo).
In generale, l'estremo superiore di una funzione regolare definita in un insieme non compatto o lo trovi dentro l'insieme con le usuali tecniche del Calcolo, oppure lo trovi agli estremi dell'insieme. Pertanto basta confrontare i valori presi nei massimi locali interni e negli estremi per stabilire qual è l'estremo superiore della funzione.
Ovviamente, la cosa cambia se la funzione non è regolare dentro l'insieme di definizione (anche se esso è compatto), poiché in tal caso hai da considerare anche il comportamento intorno ai punti nei quali la tua funzione non è regolare o non è continua.
Questo discorso, ovviamente, è fatto alla buona, ma contiene tutti gli spunti necessari a farti capire come muoverti.
Prova un po'.
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