Esercizio serie di funzione
Studiare, nei reali e nei complessi, la serie
$sum_(n=1)^(+infty) frac{log n}{sqrt(n)}*(1- frac{1}{3iz})^(-2n)$
Questa è la mia risoluzione:
ponendo
$a_n = frac{log n}{sqrt(n)}$
$w = (1- frac{1}{3iz})^(-2)$
la serie di funzione diventa una serie di potenze
$sum_(n=1)^(+infty) a_n * w^n$
La successione $a_n$ per la condizione necessaria($lim_(n->+infty)$) , converge.
Applicando il criterio del rapporto al modulo di $a_n$, si trova che il raggio di convergenza è $1$
Dunque bisogna studiare la disequazione
$|w| < 1$
cioè
$|(1- frac{1}{3iz})^(-2) | < 1$
$|(1- frac{1}{3iz})^(2) | > 1$
$|(z - 1/(3i))/z|^2 > 1$
$| z - 1/(3i) |^2 / |z|^2 > 1$
$| z - 1/(3i) |^2 > |z|^2$
$| z - 1/(3i) |> |z-0|$
è l'insieme dei punti del piano complesso la cui distanza dal punto $1/(3i)$ sull'asse immaginario è maggiore della distanza da $0$, escluso $0$; quindi è il semipiano delimitato dalla retta $Im(z)=-1/6$ contenente $0$ (quello superiore), escluso $0$.
E' esatto?
La cosa che mi stranizza è che in tutti gli esercizi dati dal mio prof negli esami passati, l'insieme delle soluzioni era data da una circonferenza, e qua invece è una retta...
$sum_(n=1)^(+infty) frac{log n}{sqrt(n)}*(1- frac{1}{3iz})^(-2n)$
Questa è la mia risoluzione:
ponendo
$a_n = frac{log n}{sqrt(n)}$
$w = (1- frac{1}{3iz})^(-2)$
la serie di funzione diventa una serie di potenze
$sum_(n=1)^(+infty) a_n * w^n$
La successione $a_n$ per la condizione necessaria($lim_(n->+infty)$) , converge.
Applicando il criterio del rapporto al modulo di $a_n$, si trova che il raggio di convergenza è $1$
Dunque bisogna studiare la disequazione
$|w| < 1$
cioè
$|(1- frac{1}{3iz})^(-2) | < 1$
$|(1- frac{1}{3iz})^(2) | > 1$
$|(z - 1/(3i))/z|^2 > 1$
$| z - 1/(3i) |^2 / |z|^2 > 1$
$| z - 1/(3i) |^2 > |z|^2$
$| z - 1/(3i) |> |z-0|$
è l'insieme dei punti del piano complesso la cui distanza dal punto $1/(3i)$ sull'asse immaginario è maggiore della distanza da $0$, escluso $0$; quindi è il semipiano delimitato dalla retta $Im(z)=-1/6$ contenente $0$ (quello superiore), escluso $0$.
E' esatto?
La cosa che mi stranizza è che in tutti gli esercizi dati dal mio prof negli esami passati, l'insieme delle soluzioni era data da una circonferenza, e qua invece è una retta...
Risposte
A me viene [tex]y<\frac{1}{6}[/tex] con [tex]z=z+iy[/tex], per cui il semipiano inferiore (e non quello superiore).
"ciampax":
A me viene [tex]y<\frac{1}{6}[/tex] con [tex]z=z+iy[/tex], per cui il semipiano inferiore (e non quello superiore).
Mmm...se hai tempo puoi mostrarmi gentilmente i tuoi calcoli?
Grazie
Ooooopss, hai ragione, m'ero perso un meno per strada. Dunque:
[tex]$\left|\left(1-\frac{1}{3iz}\right)^{-2}\right|<1\ \Rightarrow\ \left|\frac{3iz}{3iz-1}\right|^2<1\ \Rightarrow\ \frac{9|z|^2}{|3iz-1|^2}<1\ \Rightarrow\ 9|z|^2<|3iz-1|^2$[/tex]
da cui, tenendo presente che [tex]|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\Re(z\bar{w})[/tex] ottieni
[tex]$9|z|^2<9|z|^2+1+2\Re(-3iz)\ \Rightarrow\ 1+6y>0\ \Rightarrow\ y>-\frac{1}{6}$[/tex]
[tex]$\left|\left(1-\frac{1}{3iz}\right)^{-2}\right|<1\ \Rightarrow\ \left|\frac{3iz}{3iz-1}\right|^2<1\ \Rightarrow\ \frac{9|z|^2}{|3iz-1|^2}<1\ \Rightarrow\ 9|z|^2<|3iz-1|^2$[/tex]
da cui, tenendo presente che [tex]|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\Re(z\bar{w})[/tex] ottieni
[tex]$9|z|^2<9|z|^2+1+2\Re(-3iz)\ \Rightarrow\ 1+6y>0\ \Rightarrow\ y>-\frac{1}{6}$[/tex]
"ciampax":
Ooooopss, hai ragione, m'ero perso un meno per strada. Dunque:
[tex]$\left|\left(1-\frac{1}{3iz}\right)^{-2}\right|<1\ \Rightarrow\ \left|\frac{3iz}{3iz-1}\right|^2<1\ \Rightarrow\ \frac{9|z|^2}{|3iz-1|^2}<1\ \Rightarrow\ 9|z|^2<|3iz-1|^2$[/tex]
da cui, tenendo presente che [tex]|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\Re(z\bar{w})[/tex] ottieni
[tex]$9|z|^2<9|z|^2+1+2\Re(-3iz)\ \Rightarrow\ 1+6y>0\ \Rightarrow\ y>-\frac{1}{6}$[/tex]
Ok
Quindi in conclusione, l'esercizio è corretto?
Sì!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo