Esercizio serie di Fourier forma esponenziale
Salve sono nuovo qui anche se vi leggo da un sacco di tempo 
Sto preparando l'esame di analisi II e non trovo una soluzione per questo esercizio:
Si scriva la serie di Fourier in forma esponenziale della funzione, periodica di periodo 2, definita
in [−$\pi$,$\pi$ [ da
$f(x)={(1,if x in [-\pi,0[),(2,if x in [0,\pi[):}$
calcolandone esplicitamente i coefficienti.
La soluzione data dalla prof è questa: $3/2+1/{2i\pi} $ $\sum_{n=-\infty\}^\infty\frac{(1)}{n}((-1)^n-1)e^(izn)$
ma quali sono i passaggi? potreste aiutarmi?
Grazie mille!
Sto preparando l'esame di analisi II e non trovo una soluzione per questo esercizio:
Si scriva la serie di Fourier in forma esponenziale della funzione, periodica di periodo 2, definita
in [−$\pi$,$\pi$ [ da
$f(x)={(1,if x in [-\pi,0[),(2,if x in [0,\pi[):}$
calcolandone esplicitamente i coefficienti.
La soluzione data dalla prof è questa: $3/2+1/{2i\pi} $ $\sum_{n=-\infty\}^\infty\frac{(1)}{n}((-1)^n-1)e^(izn)$
ma quali sono i passaggi? potreste aiutarmi?
Grazie mille!
Risposte
Basterà calcolare i coefficienti.
Se non hai un libro, puoi guardare anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier
P.S.: immagino che la funzione sia periodica di periodo $2\pi$, e non $2$.
Se non hai un libro, puoi guardare anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier
P.S.: immagino che la funzione sia periodica di periodo $2\pi$, e non $2$.
Per $n\ne 0$ (giusto per non avere problemi con le primitive) i coefficienti della serie di Fourier sono dati da
\( a_n = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} e^{-int} dt + 2 \int_{0}^{\pi} e^{-int} dt\right) . \)
Come ho già detto, basta calcolare gli integrali...
\( a_n = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} e^{-int} dt + 2 \int_{0}^{\pi} e^{-int} dt\right) . \)
Come ho già detto, basta calcolare gli integrali...
e ottengo $a_n = (-i + ie^(i n \pi) + 2ie^(-i n \pi))/(2\pin)$ passo a $F_n$ ma anche facendolo non riesco ad arrivare alla soluzione finale 
aiuto!
aiuto!
Può essere utile scrivere in altro modo $e^{i n\pi}$, per $n\in\ZZ$.
cioè trasformarla in cos(nx) + i sen (nx) ? ho provato ma mi non vedo sbocchi
Visto che $e^{i\pi} = -1$, avrai che $e^{i n\pi} = (-1)^n$.
In alternativa, puoi tenere conto del fatto che $\sin (n\pi) = 0$, $\cos(n\pi) = (-1)^n$ per ogni $n\in\ZZ$.
In alternativa, puoi tenere conto del fatto che $\sin (n\pi) = 0$, $\cos(n\pi) = (-1)^n$ per ogni $n\in\ZZ$.
ok arrivo sempre allo stesso punto : $-i/(2\pi) ((-1)^n -1)/n$ ma poi? la $i$ sta sopra e non sotto...
arrivo sempre allo stesso punto : $-i/(2\pi) ((-1)^n -1)/n$ ma poi? la $i$ sta sopra e non sotto...
Moltiplica e dividi per $i$.
oddio grazie ma è tutto il giorno che sto qui sopra e non c'ho proprio pensato!! finalmente è fatta! grazie grazie! 
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