Esercizio Serie di Fourier

[mimm8]

Ciao :hi ho un problema nello sviluppare in serie di fourier questa funzione:

[math]f(x)=\pi^4-x^4[/math]

[math] \ |x|\leq\pi\\[/math]

un grazie in anticipo. :thx

[Studente Anonimo]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \pi^4 - x^4 \; \; \; \text{per} \; x \in [-\pi,\,\pi]\\[/math]

essendo una funzione periodica di periodo

[math]2\pi[/math]

, integrabile in

[math][-\pi,\,\pi][/math]

, possiamo associare ad

[math]f[/math]

la sua serie di Fourier:

[math]\begin{aligned}f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty}\left(a_n\,\cos(n\,x) + b_n\,\sin(n\,x)\right) \; .\end{aligned}\\[/math]

Essendo

[math]f \in C^2([-\pi,\,\pi])[/math]

,

[math]f(-\pi) = f(\pi)[/math]

ed

[math]f'(-\pi) \ne f'(\pi)[/math]

,
la serie di Fourier di

[math]f[/math]

converge a

[math]\pi^4 - x^4[/math]

in tutto

[math][-\pi,\,\pi][/math]

e si può
derivare termine a termine in tutto

[math](-\pi,\,\pi)\\[/math]

.

Come noto, i coefficienti

[math]a_n,\,b_n[/math]

sono definiti dalle
formule (per

[math]n \ge 0[/math]

ed

[math]n \ge 1\\[/math]

rispettivamente):

[math]a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\cos(n\,x)\,\text{d}x\,, \; \; \; b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\sin(n\,x)\,\text{d}x\,.\\[/math]

Dato che nello specifico

[math]f[/math]

è pari si ha

[math]b_n = 0[/math]

per ogni

[math]n \ge 1\\[/math]

, mentre

[math]\begin{aligned}
& a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(\pi^4 - x^4\right)\,\text{d}x = \frac{8}{5}\pi^4 \; ; \\
& a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(\pi^4 - x^4\right)\,\cos(n\,\pi)\,\text{d}x = \begin{cases} \frac{8\,\left(6 - n^2\,\pi^2\right)}{n^4} & \; \text{se n è pari} \; ; \\ \frac{8\,\left(n^2\,\pi^2 - 6\right)}{n^4} & \; \text{se n è dispari} \; . \end{cases}\\
\end{aligned}[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[mimm8]

grazie, però non mi è tanto chiaro il calcolo del coefficiente

[math]a_n[/math]

[Studente Anonimo]

Come è consuetudine in questo forum, scrivi i tuoi passaggi,
le tue idee al riguardo, che poi ne discutiamo assieme. ;)

[mimm8]

Allora ho:

[math]a_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (\pi^{4}-x^{4})cos(nx)\ dx \\[/math]

adesso moltiplico e sfrutto la linearità dell'integrale ottendo:

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \pi^{4}cos(nx)\ dx- \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}cos(nx)\ dx[/math]

il primo integrale:

[math]\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \pi^{4}cos(nx)\ dx= \pi^{3}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)\ dx = \pi^{3}[\frac{sen(\pi n)}{n}-\frac{sen(-\pi n)}{n}]=0[/math]

per il secondo ho:

[math]\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}cos(nx)\ dx=\ ???[/math]

per risolverlo devo integrare 4 volte per parti??? :cry

[Studente Anonimo]

Le quattro integrazioni per parti purtroppo non ce le toglie nessuno!!

In ogni modo, dato che

[math]\small n \in \mathbb{N}[/math]

allora certamente

[math]\small \sin(n\,\pi) = 0[/math]

: ergo, ogni
volta che ne "incontriamo" uno lo "cestiniamo" subito per snellire i calcoli.

Dunque, si ha:

[math]\small \begin{aligned}

a_n

& = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(\pi^4 - x^4\right)\cos(n\,x)\,\text{d}x \\

& = \frac{1}{\pi}\left[\left(\pi^4 - x^4\right)\frac{\sin(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} + \frac{4}{n\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^3\,\sin(n\,x)\,\text{d}x \\

& = 0 + \frac{4}{n\,\pi}\left[- x^3\,\frac{\cos(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} + \frac{12}{n^2\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^2\,\cos(n\,x)\,\text{d}x \\

& = - \frac{8\,\pi^2}{n^2}\cos(n\,\pi) + \frac{12}{n^2\,\pi}\left[ x^2\,\frac{\sin(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} - \frac{24}{n^3\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x\,\sin(n\,x)\,\text{d}x \\

& = - \frac{8\,\pi^2}{n^2}\cos(n\,\pi) + 0 - \frac{24}{n^3\,\pi}\left[ - x\,\frac{\cos(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi} - \frac{24}{n^4\,\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos(n\,x)\,\text{d}x \\

& = \frac{8\left(6 - n^2\,\pi^2\right)}{n^4}\cos(n\,\pi) - \frac{24}{n^4\,\pi}\left[ \frac{\sin(n\,x)}{n}\right]_{x = -\pi}^{x = \pi}\\

& = \frac{8\left(6 - n^2\,\pi^2\right)}{n^4}\cos(n\,\pi) - 0

\end{aligned}\\[/math]

e dal momento che se

[math]n[/math]

è pari

[math]\cos(n\,\pi) = 1[/math]

, mentre se

[math]n[/math]

è
dispari

[math]\cos(n\,\pi) = - 1[/math]

ne consegue la soluzione di cui sopra. ;)

[mimm8]

grazie :thx