Esercizio serie di Fourier

[anima123]

Vi propongo un esempio di esercizio del libro :

Scriviamo la serie di Fourier del segnale \(\displaystyle x \) periodico di periodo \(\displaystyle 2\pi \) tale che

\(\displaystyle x(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{se }0 \end{cases} \)

Essendo il segnale dispari, risulta

\(\displaystyle a_k = 0, \forall k \in \mathbb{N}_0 \),

\(\displaystyle b_k = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} sin(kt)dt = \begin{cases} 0, & \mbox{per }k \mbox{ pari} \\ \frac{4}{k\pi}, & \mbox{per }k \mbox{ dispari}
\end{cases} \) .

Inoltre, \(\displaystyle \forall k \in \mathbb{Z}, \)

\(\displaystyle c_k = \begin{cases} 0, & \mbox{per }k \mbox{ pari} \\ \frac{2}{jk\pi}, & \mbox{per }k \mbox{ dispari}
\end{cases} \) .

Pertanto

\(\displaystyle x(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2k - 1}sin(2k-1)t = \frac{2}{j\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2k-1}e^{j(2k-1)t} \)

Domande :

1)Perchè il segnale è dispari?
2)Come si calcola \(\displaystyle c_k \)?
3)La più importante : perchè viene quel risultato??? Perchè invece di k si considera 2k-1 ?

Grazie in anticipo

[gugo82]

Hai tutto già scritto davanti, quindi gradiremmo sapere in cosa trovi difficoltà.