Esercizio serie di fourier

[bartofra]

Ciao a tutti.
Sto facendo la seconda parte di un esercizio (si trova in analisi matematica 2 Parte Prima salsa/squellati ed. Zanichelli ) sulla serie di fourier.
A pag. 216 es. 4. .............

$ f(x)=xcosx $

che porta alla serie
$ -1/2senx+2 sum (2,infty) (-1)^n n/(n^2-1) sinnx $

Bisogna dimostrare che

* $ sum (1,infty) (-1)^(n +1) (2n+1)/(n^2+n) = 1 $ .




Se pongo $ x= pi/2 $

a me viene:

$ 1/2 = 2sum (1,infty) (-1)^(n+1) (n+1)/(n^2 +2n) $

Ma non riesco ad arrivare alla formula *, chiesta dall' esercizio.

Qualcuno di voi puo aiutarmi _???

[Ska1]

devi fatto qualche errore di conto....

Se si sostituisce [tex]$x=\frac{\pi}{2}$[/tex] si ottiene [tex]$0 = -\frac{1}{2} + 2 \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{n}{n^2-1} sin(n \frac{\pi}{2})$[/tex]

[tex]$sin(n \frac{\pi}{2}) = \begin{cases}(-1)^{k} & n=1+2k, k \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \\ 0 & altrove \end{cases}$[/tex]

Quindi si riduce a [tex]$\frac{1}{2} = 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1+2k}{(1+2k)^2-1} = 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1+2k}{4k^2+4k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1+2k}{k^2 + k}$[/tex] da cui si ha

[tex]$\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1+2k}{k^2 + k} = 1$[/tex]