Esercizio serie di fourier
Salve, ho svolto il seguente esercizio ma non sono convinto della soluzione e quindi chiedo conferma...
Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione $2pi-periodica$
$f(x)={(0,if x=(-pi,0]),(pix/2 ,if x=[0,pi]):}$
Allora svolgendo i calcoli mi viene fuori
$a_0 =pi^2/2 , a_k= (-1/2)2/(2h-1)^2 , b_k=1/2xpicos(kx)/k^2$
Ed è proprio quel $b_k$ che non riesco a capire come esprimerlo
Avevo pensato di scriverlo come $ 1/2(-1)^kpix/k^2$
Ma non sono convinto...
P.S. specifico che per il termine $a_k$ ho ovviamente già distinto i casi per $k$ pari e dispari, siccome i pari annullano il coefficiente ho considerato solo i dispari...
Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione $2pi-periodica$
$f(x)={(0,if x=(-pi,0]),(pix/2 ,if x=[0,pi]):}$
Allora svolgendo i calcoli mi viene fuori
$a_0 =pi^2/2 , a_k= (-1/2)2/(2h-1)^2 , b_k=1/2xpicos(kx)/k^2$
Ed è proprio quel $b_k$ che non riesco a capire come esprimerlo
Avevo pensato di scriverlo come $ 1/2(-1)^kpix/k^2$
Ma non sono convinto...
P.S. specifico che per il termine $a_k$ ho ovviamente già distinto i casi per $k$ pari e dispari, siccome i pari annullano il coefficiente ho considerato solo i dispari...
Risposte
Allora ho rifatto con calma i conti stamattina a mente fresca e mi vine fuori questo
$a_0 =pi^2/4, a_k= -1/(2h+1)^2 , b_k=-1/2picos(kx)/k$
a sto punto scriverei $b_k$ come $-1/2pi(-1)^k/k$
$a_0 =pi^2/4, a_k= -1/(2h+1)^2 , b_k=-1/2picos(kx)/k$
a sto punto scriverei $b_k$ come $-1/2pi(-1)^k/k$
si hai ragione ho dimenticato di sistemare i pedici...ora scrivo la serie completa con i pedici al loro posto:
$\mathcal{F} =pi^2/8+\sum_{h=0}^infty [ -1/(2h+1)^2 cos((2h+1)x)-1/2pi(-1)^h/h sin(hx)]$
Ora la seconda parte dell´ esercizio mi chiede di calcolare la somma della serie
$\sum_{h=0}^infty 1/(2h+1)^2 $
allora noto che per $x=pi$ ho che $ -1/(2h+1)^2 cos((2h+1)x)-1/2pi(-1)^h/h sin(hx)$ diventa $ 1/(2h+1)^2 $
pertanto pongo $f(pi)=pi^2/2$ ed eguaglio a $ pi^2/8+\sum_{h=0}^infty 1/(2h+1)^2$
da cui $\sum_{h=0}^infty 1/(2h+1)^2 = 3pi^2/8$
corretto??
$\mathcal{F} =pi^2/8+\sum_{h=0}^infty [ -1/(2h+1)^2 cos((2h+1)x)-1/2pi(-1)^h/h sin(hx)]$
Ora la seconda parte dell´ esercizio mi chiede di calcolare la somma della serie
$\sum_{h=0}^infty 1/(2h+1)^2 $
allora noto che per $x=pi$ ho che $ -1/(2h+1)^2 cos((2h+1)x)-1/2pi(-1)^h/h sin(hx)$ diventa $ 1/(2h+1)^2 $
pertanto pongo $f(pi)=pi^2/2$ ed eguaglio a $ pi^2/8+\sum_{h=0}^infty 1/(2h+1)^2$
da cui $\sum_{h=0}^infty 1/(2h+1)^2 = 3pi^2/8$
corretto??
allora...
La funzione di partenza non e' continua in $-pi $ e $ -pi$ quindi non converge puntualmente alla serie in quel punto.
Per la convergenza uniforme, converge uniformemente in $(-pi,0)$ e $(0,pi)$
La funzione di partenza non e' continua in $-pi $ e $ -pi$ quindi non converge puntualmente alla serie in quel punto.
Per la convergenza uniforme, converge uniformemente in $(-pi,0)$ e $(0,pi)$
allora vediamo se ho intuito...
per la teoria mi metto subito a rivederla per bene...
nei punti $x=(2k+1)pi$ la funzione e' discontinua, quindi la serie non converge puntualmente alla funzione.
Allora mi conviene prendere $x=0 $ poiche' li la funzione e' continuae la serie converge puntualmente alla funzione in quel punto.
In tal caso la somma della serie varrebbe $pi^2/8%
per la teoria mi metto subito a rivederla per bene...
nei punti $x=(2k+1)pi$ la funzione e' discontinua, quindi la serie non converge puntualmente alla funzione.
Allora mi conviene prendere $x=0 $ poiche' li la funzione e' continuae la serie converge puntualmente alla funzione in quel punto.
In tal caso la somma della serie varrebbe $pi^2/8%
[/quote]
Sì. E quindi cosa fa? Non converge? Converge a qualcosa d'altro? [/quote]
Se ho capito bene la teoria dovrebbe convergere a $1/2(f(x+)+f(x-))$ ossia in questo caso converge a $pi^2/4$
Sì. E quindi cosa fa? Non converge? Converge a qualcosa d'altro? [/quote]
Se ho capito bene la teoria dovrebbe convergere a $1/2(f(x+)+f(x-))$ ossia in questo caso converge a $pi^2/4$
grazie mille per l´ aiuto, ma soprattutto la pazienza...
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