Esercizio Serie di Fourier
Salve, vorrei sapere se la risoluzione di questo esercizio è corretta:
"Sia \(\displaystyle f \) la funzione periodica di periodo 2 tale che:
\(\displaystyle f(x) \):
\(\displaystyle 1 \) con \(\displaystyle x \in [0,1) \)
\(\displaystyle x \) con \(\displaystyle x \in [1,2) \)
Discutere in base alla teoria la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata a \(\displaystyle f \). Utilizzare lo sviluppo di \(\displaystyle f \) per determinare \(\displaystyle \sum \frac {1}{(2n+1)^{2}} \) "
Allora, dopo aver disegnato la funzione, vedo che è \(\displaystyle T-periodica \), e in particolare, poiché è continua, regolare a tratti, posso dire che converge puntualmente a \(\displaystyle f*(x) = \frac {f(x+) + f(x-)}{2} \) in presenza di discontinuità e converge puntualemente a \(\displaystyle f(x) \) altrove; inoltre, converge uniformemente in ogni sotto intervallo privo di discontinuità.
Ora, calcolo i coeff:
\(\displaystyle Ao = \frac {2}{T} [ \int_{0}^{1} dx + \int_{1}^{2} xdx] \)
\(\displaystyle An = \frac {2}{T} [ \int_{0}^{1} cos(\pi nx)dx + \int_{1}^{2} xcos(\pi nx)dx] \)
\(\displaystyle Bn = \frac {2}{T} [ \int_{0}^{1} sen(\pi nx) dx + \int_{1}^{2} xsen(\pi nx)dx] \)
E trovo che:
\(\displaystyle \frac{Ao}{2} = \frac {5}{4} \)
\(\displaystyle An = \frac {1 - (-1)^{n}}{\pi^{2} n^{2}} \)
\(\displaystyle Bn = \frac {1}{\pi n} \)
Dunque la serie di Fourier è:\(\displaystyle \frac {5}{4} + \sum [ \frac {1 - (-1)^{n}}{\pi^{2} n^{2}} cos(nx) - \frac {1}{\pi n} sen(nx) \)
che riscrivo come: \(\displaystyle \frac {5}{4} + \sum [ \frac {2}{\pi^{2} (2n+1)^{2}} cos((2n+1)x) - \frac {1}{\pi (2n+1)} sen((2n+1)x)] \)
per calcolare quel valore, adesso, pongo \(\displaystyle x=0 \), e so che \(\displaystyle f(x) \), quando \(\displaystyle x = 0 \), è 1;
quindi \(\displaystyle 1= \frac {5}{4} + \frac {2}{ \pi^{2}} \sum \frac{1}{(2n+1)^{2}} \) , da cui trovo che la somma è:\(\displaystyle \frac{ - \pi^{2}}{10} \)
E' giusto?
E' venuto fuori nella traccia d'esame, l'altro giorno, e vorrei sapere se è davvero così se va risolto, grazie mille.
"Sia \(\displaystyle f \) la funzione periodica di periodo 2 tale che:
\(\displaystyle f(x) \):
\(\displaystyle 1 \) con \(\displaystyle x \in [0,1) \)
\(\displaystyle x \) con \(\displaystyle x \in [1,2) \)
Discutere in base alla teoria la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata a \(\displaystyle f \). Utilizzare lo sviluppo di \(\displaystyle f \) per determinare \(\displaystyle \sum \frac {1}{(2n+1)^{2}} \) "
Allora, dopo aver disegnato la funzione, vedo che è \(\displaystyle T-periodica \), e in particolare, poiché è continua, regolare a tratti, posso dire che converge puntualmente a \(\displaystyle f*(x) = \frac {f(x+) + f(x-)}{2} \) in presenza di discontinuità e converge puntualemente a \(\displaystyle f(x) \) altrove; inoltre, converge uniformemente in ogni sotto intervallo privo di discontinuità.
Ora, calcolo i coeff:
\(\displaystyle Ao = \frac {2}{T} [ \int_{0}^{1} dx + \int_{1}^{2} xdx] \)
\(\displaystyle An = \frac {2}{T} [ \int_{0}^{1} cos(\pi nx)dx + \int_{1}^{2} xcos(\pi nx)dx] \)
\(\displaystyle Bn = \frac {2}{T} [ \int_{0}^{1} sen(\pi nx) dx + \int_{1}^{2} xsen(\pi nx)dx] \)
E trovo che:
\(\displaystyle \frac{Ao}{2} = \frac {5}{4} \)
\(\displaystyle An = \frac {1 - (-1)^{n}}{\pi^{2} n^{2}} \)
\(\displaystyle Bn = \frac {1}{\pi n} \)
Dunque la serie di Fourier è:\(\displaystyle \frac {5}{4} + \sum [ \frac {1 - (-1)^{n}}{\pi^{2} n^{2}} cos(nx) - \frac {1}{\pi n} sen(nx) \)
che riscrivo come: \(\displaystyle \frac {5}{4} + \sum [ \frac {2}{\pi^{2} (2n+1)^{2}} cos((2n+1)x) - \frac {1}{\pi (2n+1)} sen((2n+1)x)] \)
per calcolare quel valore, adesso, pongo \(\displaystyle x=0 \), e so che \(\displaystyle f(x) \), quando \(\displaystyle x = 0 \), è 1;
quindi \(\displaystyle 1= \frac {5}{4} + \frac {2}{ \pi^{2}} \sum \frac{1}{(2n+1)^{2}} \) , da cui trovo che la somma è:\(\displaystyle \frac{ - \pi^{2}}{10} \)
E' giusto?
E' venuto fuori nella traccia d'esame, l'altro giorno, e vorrei sapere se è davvero così se va risolto, grazie mille.
Risposte
Il segno è evidentemente sbagliato, quindi qualcosa non va.
ho controllato i calcoli con wolfram, gli integrali non mi sembrano sbagliati.. non riesco a capire dove possa essere sbagliato il segno di modo che la solv sia negativa D:
Intanto in $0$ c'è un salto, quindi la serie di Fourier non converge a $f(0)$.
ma in zero è ben definita, non capisco
Quando c'è un salto, una serie di Fourier non converge al valore puntuale della funzione nel salto ma al punto di mezzo tra i limiti sinistro e destro. E' una cosa che sicuramente hai studiato. In $0$ c'è un salto, fatti un disegno. Ricordati che hai tra le mani una funzione periodica.
ah, vero, ho sbagliato ad immaginare la funzione in 0, quindi c'è un salto pari ad 1, quindi per il teorema di dirichlet là converge alla metà del salto, quindi \(\displaystyle \frac {1}{2} \). ma comunque i calcoli danno sempre esito negativo, non riesco a vedere l'errore D:
Non $1/2$ ma $3/2$
okay, sono stupido xD grazie mille
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