Esercizio serie di fourier
Salve, mi sono imbattutto in questa tipologia di esercizi sulle serie di forurier, ma non so proprio da dove preocedere, qualche consiglio?
Ecco la traccia:
Sia \(\displaystyle α \in R \) e sia \(\displaystyle fα \) la funzione pari e periodica di periodo \(\displaystyle 4 \) tale che \(\displaystyle fα(x) = (2−x)^{α} \) per \(\displaystyle x \in [0, 2) \) e \(\displaystyle fα(2) = 0 \).
(a) Discutere in base alla teoria la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata
a \(\displaystyle fα \), al variare di \(\displaystyle α ∈ R \).
(b) Determinare esplicitamente la serie di Fourier associata a \(\displaystyle f1 \) e utilizzarla per calcolare
\(\displaystyle \sum \frac {1}{(2n+1)^{2}} \)
Cioè, da dove partire in questi casi?
Allora, io vedo che è di periodo \(\displaystyle T \), quindi i coefficienti vanno riscrtitti secondo il periodo \(\displaystyle T \). Poi è pari, quindi so che il coefficiente \(\displaystyle Bn=0 \).
Vedo che per \(\displaystyle α>0 \) la funzione è sempre continua in \(\displaystyle [0,2) \);
Mentre per \(\displaystyle α<0 \) la funzione è continua eccetto in \(\displaystyle x=2 \);
Dalla teoria, so che se \(\displaystyle f \) è \(\displaystyle T-periodica \), continua e regolara a tratti nell'intervallo proposto, allora converge uniformemente lì, in particolare converge in tutti i sotto intervalli privi di discontinuità.
Oltre questo, non mi viene nient'altro in mente. Consigli?
Ecco la traccia:
Sia \(\displaystyle α \in R \) e sia \(\displaystyle fα \) la funzione pari e periodica di periodo \(\displaystyle 4 \) tale che \(\displaystyle fα(x) = (2−x)^{α} \) per \(\displaystyle x \in [0, 2) \) e \(\displaystyle fα(2) = 0 \).
(a) Discutere in base alla teoria la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata
a \(\displaystyle fα \), al variare di \(\displaystyle α ∈ R \).
(b) Determinare esplicitamente la serie di Fourier associata a \(\displaystyle f1 \) e utilizzarla per calcolare
\(\displaystyle \sum \frac {1}{(2n+1)^{2}} \)
Cioè, da dove partire in questi casi?
Allora, io vedo che è di periodo \(\displaystyle T \), quindi i coefficienti vanno riscrtitti secondo il periodo \(\displaystyle T \). Poi è pari, quindi so che il coefficiente \(\displaystyle Bn=0 \).
Vedo che per \(\displaystyle α>0 \) la funzione è sempre continua in \(\displaystyle [0,2) \);
Mentre per \(\displaystyle α<0 \) la funzione è continua eccetto in \(\displaystyle x=2 \);
Dalla teoria, so che se \(\displaystyle f \) è \(\displaystyle T-periodica \), continua e regolara a tratti nell'intervallo proposto, allora converge uniformemente lì, in particolare converge in tutti i sotto intervalli privi di discontinuità.
Oltre questo, non mi viene nient'altro in mente. Consigli?
Risposte
Nessun consiglio? 
Proprio non c'è nessuno che sa affrontare un esercizio del genere? T.T
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