Esercizio serie di Fourier
Salve ragazzi, ho una serie di fourier: $ x(t)=sum_(n = -\oo )^ (n = oo ) (1/2)^n e^(jπnt) $ , l'esercizio mi chiede di calcolare l'energia del segnale e il modulo del segnale cioè |x(t)|.
Per quanto riguarda la prima richiesta, ho semplicemente applicato la disuguaglianza di parseval e quindi ho calcolato la serie dei moduli dei coefficienti di fourier al quadrato. Per la seconda richiesta invece non so come muovermi, come devo fare?
Grazie mille in anticipo!
Per quanto riguarda la prima richiesta, ho semplicemente applicato la disuguaglianza di parseval e quindi ho calcolato la serie dei moduli dei coefficienti di fourier al quadrato. Per la seconda richiesta invece non so come muovermi, come devo fare?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
up!
Ad occhio, direi che quella non è una serie di Fourier di una funzione a quadrato sommabile.
Infatti, per il teorema di Fischer-Riesz, una serie del tipo \(\sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n\ e^{\imath \pi n t}\) è una s.d.F. di una funzione \(L^2(-1,1)\) solo se \((a_n)\in \ell^2(\mathbb{Z})\), i.e. solo se:
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 <\infty\; ;
\]
ma nel tuo caso tale somma non è finita, poiché la parte della serie bilatera contenente le potenze negative è positivamente divergente.
Quindi, mi chiedo: c'è un errore nel testo? Da dove hai preso l'esercizio?
P.S.: A questo punto, sarei curioso di vedere che conti hai fatto usando Parseval.
Infatti, per il teorema di Fischer-Riesz, una serie del tipo \(\sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n\ e^{\imath \pi n t}\) è una s.d.F. di una funzione \(L^2(-1,1)\) solo se \((a_n)\in \ell^2(\mathbb{Z})\), i.e. solo se:
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 <\infty\; ;
\]
ma nel tuo caso tale somma non è finita, poiché la parte della serie bilatera contenente le potenze negative è positivamente divergente.
Quindi, mi chiedo: c'è un errore nel testo? Da dove hai preso l'esercizio?
P.S.: A questo punto, sarei curioso di vedere che conti hai fatto usando Parseval.
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