Esercizio serie convergenza

[manu911]

salve a tutti
ho questo esercizio su cui ho qualche dubbio:

sia data la funzione $f: RR rarr RR$ derivabile due volte e limitata. si consideri la seguente serie
$\sum_{n=1}^oo 1/n^3*f(nx)$
dimostrare che:
1) la serie converge uniformemente su tutto $RR$ ad una funzione $g$
2) se anche $f'$ è limitata su tutto $RR$ dimostrare che $g$ è derivabile
3) si calcoli $int_1^0 (g(x))dx$ sapendo che $F(1/n)=F(0)$ ove $F$ è una qualunque primitiva di $f$

sincermente non so come rispondere alle varie domande e ho qualche dubbio, sul primo punto so che una serie e la sua derivata convergono nello stesso intervallo, ma per dimostrare/trovare questa convergenza non dovrei conoscere $f(nx)$?
forse sara un esercizio "banale" ma non riesco proprio a risolverlo

[Seneca1]

1) Osserva che, siccome $f$ è limitata
\[ \sup_{\mathbb{R}} \left | \frac{1}{n^3} \cdot f(n x) \right | \le \frac{1}{n^3} \cdot M \]
e quindi c'è convergenza totale su tutto $\mathbb{R}$.

2) Dal primo punto, per un noto teorema sulle serie, se dimostri che la serie che si ottiene differenziando termine a termine $g$ converge almeno in un punto di $\mathbb{R}$, allora anch'essa converge uniformemente su tutto $\mathbb{R}$ ed è proprio la derivata di $g$.

3) Prova tu...