Esercizio serie
data la serie:
$ sum_(n=1 )^(oo)(n+3)/(2n^3+2n+2) $ Definire il carattere della serie.
Ho provato a risolverla così.
$sum_(n=1 )^(oo)a_n= lim_(N ->oo) S_n=L $
$S_(N+1)-S_N (N ->oo)=L-L=0 $
quindi
$lim_(N->oo) sum_(n=1 )^(N)(n+3)/(2n^3+2n+2)=0$
$S_(N+1)-S_N$ per $ N ->oo =0-0=0 $
quindi converge, è un procedimento giusto?
$ sum_(n=1 )^(oo)(n+3)/(2n^3+2n+2) $ Definire il carattere della serie.
Ho provato a risolverla così.
$sum_(n=1 )^(oo)a_n= lim_(N ->oo) S_n=L $
$S_(N+1)-S_N (N ->oo)=L-L=0 $
quindi
$lim_(N->oo) sum_(n=1 )^(N)(n+3)/(2n^3+2n+2)=0$
$S_(N+1)-S_N$ per $ N ->oo =0-0=0 $
quindi converge, è un procedimento giusto?
Risposte
Se fosse giusto, tutte le serie sarebbero convergenti.
@BHK: Praticamente hai dimostrato che se la serie è convergente, allora la successione degli addendi è infinitesima.
Mai sentito parlare di criterio del confronto o di confronto asintotico?
Mai sentito parlare di criterio del confronto o di confronto asintotico?
Ho fatto un po di macello con degli appunti, provo con il criterio del confronto asintotico
$ sum_(n=1 )^(oo)(n+3)/(2n^3+2n+2) $
La cui serie$(n+3)/(2n^3+2n+2) $ dovrebbe essere asintoticamente uguale a $n/n^3$
$(n+3)/(2n^3+2n+2) \sim 1/n^2$
ora sapendo che $ sum_(n=1 )^(oo)1/n^alpha$ converge se $alpha>1$ dovrebbe convergere anche la serie di partenza
$ sum_(n=1 )^(oo)(n+3)/(2n^3+2n+2) $
La cui serie$(n+3)/(2n^3+2n+2) $ dovrebbe essere asintoticamente uguale a $n/n^3$
$(n+3)/(2n^3+2n+2) \sim 1/n^2$
ora sapendo che $ sum_(n=1 )^(oo)1/n^alpha$ converge se $alpha>1$ dovrebbe convergere anche la serie di partenza
sì, questo è esatto :p
Esattamundo.
E se il professore ti dicesse che puoi sfruttare solo il criterio del confronto, come faresti?
E se il professore ti dicesse che puoi sfruttare solo il criterio del confronto, come faresti?
Per poter applicare la regola del confronto, mi serve una serie che è minore definitivamente della serie che sto studiando,
il problema è generare una serie di cui so il carattere, per poi poterla confrontare.
il problema è generare una serie di cui so il carattere, per poi poterla confrontare.
Il trucco è il seguente.
Sai che la successione degli addendi è infinitesima dello stesso ordine di [tex]$\tfrac{1}{n^2}$[/tex], ergo la cosa più naturale da fare è cercare di determinare una costante [tex]$C>0$[/tex] tale che (da un certo punto in poi) si abbia [tex]$\tfrac{n+3}{2(n^3+n+1)} \leq \tfrac{C}{n^2}$[/tex].
Proviamo: noi vogliamo che:
[tex]$\tfrac{n+3}{2(n^3+n+1)} \leq \tfrac{C}{n^2}$[/tex]
il che equivale a richiedere che:
[tex]$n^3+3n^2 \leq 2C(n^3 +n+1)$[/tex]
ovvero:
[tex]$0\leq (2C-1)n^3-3n^2+2Cn+2C$[/tex];
ma l'ultima disuguaglianza è verificata non appena si ha:
[tex]$0\leq (2C-1)n^3 -3n^2$[/tex]
ossia (perchè [tex]$n\geq 1$[/tex]):
[tex]$0\leq (2C-1)n-3$[/tex]
e quindi non appena scegliamo:
[tex]$n\geq \frac{3}{2C-1}$[/tex].
Perciò basta fissare [tex]$C>0$[/tex] in modo che [tex]$\frac{3}{2C-1}= 1$[/tex], ossia [tex]$C=2$[/tex]. Scelto tale valore di [tex]$C$[/tex], si possono ripercorrere a passo di gambero tutte le disuguaglianze scritte ed ottenere che:
[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\quad \frac{n+3}{2(n^3+n+1)} \leq \frac{2}{n^2}$[/tex]
che è quello che ci serviva.
Sai che la successione degli addendi è infinitesima dello stesso ordine di [tex]$\tfrac{1}{n^2}$[/tex], ergo la cosa più naturale da fare è cercare di determinare una costante [tex]$C>0$[/tex] tale che (da un certo punto in poi) si abbia [tex]$\tfrac{n+3}{2(n^3+n+1)} \leq \tfrac{C}{n^2}$[/tex].
Proviamo: noi vogliamo che:
[tex]$\tfrac{n+3}{2(n^3+n+1)} \leq \tfrac{C}{n^2}$[/tex]
il che equivale a richiedere che:
[tex]$n^3+3n^2 \leq 2C(n^3 +n+1)$[/tex]
ovvero:
[tex]$0\leq (2C-1)n^3-3n^2+2Cn+2C$[/tex];
ma l'ultima disuguaglianza è verificata non appena si ha:
[tex]$0\leq (2C-1)n^3 -3n^2$[/tex]
ossia (perchè [tex]$n\geq 1$[/tex]):
[tex]$0\leq (2C-1)n-3$[/tex]
e quindi non appena scegliamo:
[tex]$n\geq \frac{3}{2C-1}$[/tex].
Perciò basta fissare [tex]$C>0$[/tex] in modo che [tex]$\frac{3}{2C-1}= 1$[/tex], ossia [tex]$C=2$[/tex]. Scelto tale valore di [tex]$C$[/tex], si possono ripercorrere a passo di gambero tutte le disuguaglianze scritte ed ottenere che:
[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\quad \frac{n+3}{2(n^3+n+1)} \leq \frac{2}{n^2}$[/tex]
che è quello che ci serviva.
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