Esercizio serie #4

[FinixFighter]

Ciao raga, vi propongo un'altra serie numerica su cui sto sbattendo la testa...
$ sum_(n = 0 )^(oo ) ln(n^alpha+1)-ln(n^alpha) $
Devo usare il criterio del confronto asintotico con serie notevoli e stabilire per quali valori di alpha converge.
Io so che $ ln(n^alpha+1)~ ln(n^alpha) $ per n che va a infinito percò così ottengo una forma 0-0
Potreste suggerirmi come procedere?

[otta96]

Proprietà dei logaritmi?

[pilloeffe]

Ciao FinixFighter,

Comincerei con l'osservare che la serie proposta non può partire da $n = 0 $ perché per tale valore non è definito il secondo logaritmo. Poi applicherei semplicemente le proprietà dei logaritmi:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} ln(n^{\alpha} + 1) - ln(n^{\alpha}) = \sum_{n = 1}^{+\infty} ln(\frac{n^{\alpha} + 1}{n^\alpha}) = \sum_{n = 1}^{+\infty} ln(1 + 1/n^{\alpha}) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $

Ne consegue che la serie proposta converge per $\alpha > 1 $

[FinixFighter]

Era così semplice... non mi ero reso conto... grazie mille!

[Sk_Anonymous]

Una puntualizzazione: pilloeffe ha fatto un maggiorazione, ma questo prova soltanto che se \( \alpha > 1 \) allora la serie converge. Per avere un se e solo se devi, appunto, usare il criterio del confronto asintotico per serie a termini positivi: \[ \lim_n \frac{ \log \left( 1 + \frac{1}{n^\alpha} \right)}{1/n^\alpha} = 1 \]per \( \alpha > 0 \) (se \( \alpha \le 0\) il termine generale non è nemmeno infinitesimo).