Esercizio serie
Ciao ragazzi, sto avendo difficoltà nello svolgere quest'esercizio riguardo questa serie:
$ sum((n2^(nx))/(n+1)) $
Devo calcolare l'intervallo di convergenza.
Io ho usato il teorema di D'Alembert, ma facendo il limite per $ n->infty $ mi resta $ 2^x $ e da qui non so più come andare avanti perchè non so come lavorare con la x...
Il risultato dovrebbe essere $ (-infty, 0) $
$ sum((n2^(nx))/(n+1)) $
Devo calcolare l'intervallo di convergenza.
Io ho usato il teorema di D'Alembert, ma facendo il limite per $ n->infty $ mi resta $ 2^x $ e da qui non so più come andare avanti perchè non so come lavorare con la x...
Il risultato dovrebbe essere $ (-infty, 0) $
Risposte
Puoi scriverla come $sum_(n=0)^(infty)n/(n+1)(2^x)^n$ la quale dovrebbe ricordarti una serie di potenze
Ciao MarkS3,
Sfruttando il suggerimento che ti ha già dato anto_zoolander ed osservando che si può scrivere
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} ((n2^(nx))/(n+1)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} n/(n+1)(2^x)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + 1 - 1)/(n+1)(2^x)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (2^x)^n - \sum_{n = 0}^{+\infty}(2^x)^n/(n+1) $
non è neanche troppo complicato determinarne la somma, naturalmente nell'intervallo di convergenza della serie proposta, cioè per $x \in (-\infty, 0) $
"MarkS3":
Devo calcolare l'intervallo di convergenza.
Sfruttando il suggerimento che ti ha già dato anto_zoolander ed osservando che si può scrivere
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} ((n2^(nx))/(n+1)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} n/(n+1)(2^x)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + 1 - 1)/(n+1)(2^x)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (2^x)^n - \sum_{n = 0}^{+\infty}(2^x)^n/(n+1) $
non è neanche troppo complicato determinarne la somma, naturalmente nell'intervallo di convergenza della serie proposta, cioè per $x \in (-\infty, 0) $
Innanzitutto vi ringrazio per avermi risposto!
Però purtroppo ancora non riesco a capire...
Applicando il teorema di Cauchy e facendo il limitealle due serie indicate da @pilloeffe avrei:
$ Sigma (2^x)^n=2^x $
$ Sigma (2^x)^n/(n+1)=0 $
Ancora non mi è chiaro
Però purtroppo ancora non riesco a capire...
Applicando il teorema di Cauchy e facendo il limitealle due serie indicate da @pilloeffe avrei:
$ Sigma (2^x)^n=2^x $
$ Sigma (2^x)^n/(n+1)=0 $
Ancora non mi è chiaro
"MarkS3":
Innanzitutto vi ringrazio per avermi risposto!
Prego!
Quanto al resto, mi sa che devi ridare un'occhiata alla teoria...
Cosa dice D'Alembert che hai citato nel tuo OP?
Le due serie che ti ho scritto (ma anche quella che ti ha scritto anto_zoolander...) convergono se $2^x < 1 \iff 2^x < 2^0 \iff x < 0 $ (la prima è la ben nota serie geometrica, che dovresti aver studiato...), pertanto l'intervallo di convergenza della serie proposta è proprio $(-\infty, 0) $
"pilloeffe":
[quote="MarkS3"]Innanzitutto vi ringrazio per avermi risposto!
Prego!
Quanto al resto, mi sa che devi ridare un'occhiata alla teoria...
Cosa dice D'Alembert che hai citato nel tuo OP?
Le due serie che ti ho scritto (ma anche quella che ti ha scritto anto_zoolander...) convergono se $2^x < 1 \iff 2^x < 2^0 \iff x < 0 $ (la prima è la ben nota serie geometrica, che dovresti aver studiato...), pertanto l'intervallo di convergenza della serie proposta è proprio $(-\infty, 0) $[/quote]
Ok, ammetto che avevo completamente dimenticato la teoria per cui con D'Alembert L<1
Però non mi è ancora ben chiaro come viene $ (-infty, 0) $ ...
In teoria dovrei trovare l'intervallo tramite il raggio, che varia in base ad L.
Però, il mio dubbio è, dopo aver determinato che la seria converge per $ x<0 $ come ragiono per il raggio e di conseguenza l'intervallo di convergenza?
"MarkS3":
ammetto che avevo completamente dimenticato la teoria per cui con D'Alembert L<1
Bene, sei d'accordo che nel caso in esame $L = 2^x $?
"MarkS3":
Però non mi è ancora ben chiaro come viene $(−\infty,0)$ ...
Beh, ti ho già mostrato i passaggi nel mio post precedente: $ L = 2^x < 1 \iff x < 0 $ e
$x < 0 $ sotto forma di intervallo si scrive proprio $(-\infty, 0) $
"pilloeffe":
[quote="MarkS3"]ammetto che avevo completamente dimenticato la teoria per cui con D'Alembert L<1
Bene, sei d'accordo che nel caso in esame $L = 2^x $? [/quote]
Si, d'accordissimo
"pilloeffe":
[quote="MarkS3"]Però non mi è ancora ben chiaro come viene $(−\infty,0)$ ...
Beh, ti ho già mostrato i passaggi nel mio post precedente: $ L = 2^x < 1 \iff x < 0 $ e
$x < 0 $ sotto forma di intervallo si scrive proprio $(-\infty, 0) $[/quote]
Grazie mille per l'aiuto e soprattutto per le spiegazioni
"MarkS3":
Grazie mille per l'aiuto e soprattutto per le spiegazioni
Prego!
Probabilmente a te non interessa, ma per completezza riporto anche i calcoli restanti alla determinazione della somma della serie proposta:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} ((n2^(nx))/(n+1)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} n/(n+1)(2^x)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + 1 - 1)/(n+1)(2^x)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (2^x)^n - \sum_{n = 0}^{+\infty}(2^x)^n/(n+1) = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (2^x)^n - 1/2^x \sum_{n = 0}^{+\infty}(2^x)^{n + 1}/(n+1) = 1/(1 - 2^x) + (ln(1 - 2^x))/2^x = - 1/(2^x - 1) + (ln(1 - 2^x))/2^x = $
$ = \frac{- 2^x + (2^x - 1)ln(1 - 2^x)}{2^x(2^x - 1)} = \frac{2^{- x} [- 2^x + (2^x - 1)ln(1 - 2^x)]}{2^x - 1}$
Dunque in definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 0}^{+\infty} \dfrac{n2^{nx}}{n+1} = \dfrac{2^{- x} [- 2^x + (2^x - 1)\ln(1 - 2^x)]}{2^x - 1} \hskip 1.0cm \text{ per } x < 0}
\end{equation*}
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