Esercizio serie

[lepre561]

$\sum_{n=1}^infty n(nsin(1/(2n)))^n$

io procederei per confronto asintotico $sin(1/(2n))=1/(2n)$

e dunque $\sum_{n=1}^infty n(1/2)^n$

come continuo?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

Beh, derivando la serie geometrica si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2} $

se $|x| < 1 $, e siccome nel tuo caso $x = 1/2 < 1 $...

[otta96]

Sennò potevi partire direttamente col criterio della radice.

[lepre561]

"otta96":Sennò potevi partire direttamente col criterio della radice.

ci avevo pensato ma mi veniva un limite della forma $0*infty$

[lepre561]

"pilloeffe":Ciao lepre561,

Beh, derivando la serie geometrica si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2} $

se $|x| < 1 $, e siccome nel tuo caso $x = 1/2 < 1 $...

non ho capito che derivazione hai svolto...cioè da dove esce la x?

[pilloeffe]

Come dovresti sapere si ha:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1 - x} $

per $|x| < 1 $
Derivando si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} nx^{n - 1} = d/(dx) \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{(1 - x)^2}$
Moltiplicando per $x$ si ha proprio

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} nx^n = \frac{x}{(1 - x)^2}$

sempre per $|x| < 1 $. Nel tuo caso $x = 1/2 < 1 $, per cui si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n(1/2)^n = \frac{1/2}{(1 - 1/2)^2} = 2 $

Comunque col criterio della radice che ti ha suggerito otta96 si fa prima, infatti si ha:

$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} root[n]{n} \cdot n \sin(1/(2n)) = 1/2 \cdot \lim_{n \to +\infty} root[n]{n} \cdot \sin(1/(2n))/((1/(2n))) = 1/2 \cdot 1 \cdot 1 = 1/2 < 1 $

Dunque la serie proposta è convergente.

[lepre561]

chiarissimo!!!