Esercìzio serie

[ezio1400]

Devo studiare la seguente serie $ sum_(n = 0)^(+oo) (n!)/(n+1)^(2*alpha*n) $ al variare di $alpha$.

Io ho utilizzato il criterio del rapporto:

$lim_(n->+oo) ((n+1)!)/(n+2)^(2*alpha*(n+1)) * (n+1)^(2*alpha*n)/(n!) rArr (n+1)^(2*alpha*n+1) / ((n+2)^(2*alpha*n+2*alpha))

~ n^(2*alpha*n +1) / (n^(2*alpha*n +2*alpha)) rArr n^(1-2*alpha) $

Da cui $lim_(n->+oo) n^(1-2*alpha)$ diverge se $(1-2*alpha) >0 $ converge se $(1-2*alpha) <0 $

Quindi per $ alpha < 1/2 $ diverge per il criterio del rapporto mentre per $ alpha > 1/2 $ converge.

Ora non riesco a studiare il caso in cui $alpha = 1/2$ infatti in questo caso nel limite ho una forma indeterminata ovviamente e non so come proseguire.

Grazie per gli eventuali aiuti!

[ezio1400]

Due cose:
1- Hai rifatto l'esercizio perchè come l'ho fatto io è sbagliato? Se si dove ho commesso l'errore?
2- per $alpha = 1/2$ hai anche $lim_(m->oo) (-m)^0$ non è una forma indeterminata?
Grazie

[ezio1400]

Riguardo alla prima questione credo di aver sbagliato la simbologia. Il simbolo asintotico dovrebbe in realtà essere sostituito da un uguale perchè in quel passaggio ho usato il principio di sostituzione degli infiniti essendo $ n$ \( \gg \) $ 1$ e quindi $ n-1=n $.

Invece per il secondo punto io ho $lim_(m->oo) (-m)^0$ cioè $-oo^0$ non è una forma indeterminata? o lo è solo per $oo^0$?

Grazie per la pazienza

[ezio1400]

Ora mi è più chiaro. Grazie ancora