Esercizio serie

[Thyeme]

Ciao ragazzi! Non riesco a risolvere questo esercizio sulle serie!

Discutere la convergenza di
$sum_{n=1}^oo n^n ((2n),(n))^-1 $

Ho provato con il teorema del confronto ma viene una cosa impossibile!! non riesco proprio a capire che strada prendere!

[Noisemaker]

Ricordiamo anzitutto che:
$${n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
allora nel nostro caso avremo:
\begin{align*}
{2n \choose n} ^{-1} = \left(\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}\right)^{-1} = \frac{ n! n!}{(2n)!}
\end{align*}
la serie data risulta dunque equivalente alla serie seguente:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{ n^n\cdot n! n!}{(2n)!}
\end{align*}
che è una serie a termini positivi, alla quale possiamo applicare il crierio del rapporto:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{ n^n\cdot n! n!}{(2n)!} \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}&= \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^{n+1}(n+1)!(n+1)!}{ (2n+2)! }\cdot \frac{(2n)!}{n^n n! n!} =....
\end{align*}

a questo punto dovresti concludere....

[Noisemaker]

be ma a quel punto è fatta in quanto

\begin{align*}
... \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^{n+1}(n+1)!(n+1)!}{ (2n+2)! }\cdot \frac{(2n)!}{n^n n! n!} &=\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^{n+1}\cdot n!\cdot(n+1)\cdot n!\cdot(n+1)}{ (2n )!(2n+1) (2n+2)}\cdot \frac{(2n)!}{n^n n! n!} \\
&=\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^{n } }{n^n}\cdot \frac{(n+1) \cdot(n+1)\cdot(n+1)}{ (2n+1) (2n+2)}=+\infty\\
&\to \mbox{non converge}
\end{align*}

[Thyeme]

Si hai ragione mi sono accorto troppo tardi però di questa soluzione!!
Ti ringrazio!!