Esercizio semplice eq. differenziale 1°ordine
Ho svolto questo esercizio e ho un piccolo dubbio.
$1/2y'+x^2sqrt(y)=0$
Ecco il procedimento:
$(y')/(2sqrt(y))=-x^2 => ... => sqrt(y)= -1/3x^3+c => y= 1/9x^6-1/3x^3c +c^2$?
Ho un dubbio riguardo l'ultimo passaggio, ovvero quando trovo la y sotto radice ed elevo al quadrato il secondo membro. Devo coinvolgere anche la c nell'elevamento a quadrato?
$1/2y'+x^2sqrt(y)=0$
Ecco il procedimento:
$(y')/(2sqrt(y))=-x^2 => ... => sqrt(y)= -1/3x^3+c => y= 1/9x^6-1/3x^3c +c^2$?
Ho un dubbio riguardo l'ultimo passaggio, ovvero quando trovo la y sotto radice ed elevo al quadrato il secondo membro. Devo coinvolgere anche la c nell'elevamento a quadrato?
Risposte
Certo, infatti se non prendessi in considerazione la costante c nell'elevamento al quadrato otterresti che la famiglia di soluzioni è data da:
$y(x)= 1/9 x^6+c$, ma questa non è soluzione dell'equazione differenziale.
$y(x)= 1/9 x^6+c$, ma questa non è soluzione dell'equazione differenziale.
perfetto.. era solo un dubbio che non volevo portare alla tomba 
Grazie
Grazie
Prego 
Visto che siamo in tema.. avrei 2 dubbi riguardo l'argomento. Il primo riguarda un esercizio che ho svolto (vorrei sapere se è giusto), il secondo riguarda un tipo di esercizi che potrebbero capitarmi.
1.
${(y'=(xy+x^3)/x^2),(y(1)=0):} => {(y'=y/x+x),(y(1)=0):} => {(y=e^ln(x)intxe^(-lnx)=Cx^2),(y(1)=C=0):} => {(y=0),(y(1)=0):}$
E' possibile?
2. Se dovesse capitarmi una forma del tipo:
$y'=sqrt(xy+x)$
come dovrei comportarmi? non sono in grado di raggiungere una forma immediata, nè di scindere x da y. Come si fa?
1.
${(y'=(xy+x^3)/x^2),(y(1)=0):} => {(y'=y/x+x),(y(1)=0):} => {(y=e^ln(x)intxe^(-lnx)=Cx^2),(y(1)=C=0):} => {(y=0),(y(1)=0):}$
E' possibile?
2. Se dovesse capitarmi una forma del tipo:
$y'=sqrt(xy+x)$
come dovrei comportarmi? non sono in grado di raggiungere una forma immediata, nè di scindere x da y. Come si fa?
$y'(x)= (y(x))/x+x => y(x)= e^(ln(x))(\int xe^(-ln(x))dx+C) = x(x+C)= x^2+Cx$ con $C$ costante da determinare.
$y(1)= C=0$, dunque la soluizione è $y(x)= x^2$
Adesso ti faccio due domande:
1)$y(x)=0$ può essere soluzione del problema di Cauchy?
2) Nel secondo esercizio, non vi è alcuna condizione sulla $x$?
Nel caso in cui $x\in [0, infty)$ allora potresti ricondurti ad una equazione differenziale a variabili separabili:
$y'(x)= \sqrt(x y(x)+x) = \sqrt(x(y(x)+1))= \sqrt(x)\sqrt(y(x)+1)$. (non mi sono messo a fare i conti, mi auguro non venga una cosa molto complicata
)
$y(1)= C=0$, dunque la soluizione è $y(x)= x^2$
Adesso ti faccio due domande:
1)$y(x)=0$ può essere soluzione del problema di Cauchy?
2) Nel secondo esercizio, non vi è alcuna condizione sulla $x$?
Nel caso in cui $x\in [0, infty)$ allora potresti ricondurti ad una equazione differenziale a variabili separabili:
$y'(x)= \sqrt(x y(x)+x) = \sqrt(x(y(x)+1))= \sqrt(x)\sqrt(y(x)+1)$. (non mi sono messo a fare i conti, mi auguro non venga una cosa molto complicata
)
"Mathematico":
$y'(x)= (y(x))/x+x => y(x)= e^(ln(x))(\int xe^(-ln(x))dx+C) = x(x+C)= x^2+Cx$ con $C$ costante da determinare.
$y(1)= C=0$, dunque la soluizione è $y(x)= x^2$
Adesso ti faccio due domande:
1)$y(x)=0$ può essere soluzione del problema di Cauchy?
2) Nel secondo esercizio, non vi è alcuna condizione sulla $x$?
Nel caso in cui $x\in [0, infty)$ allora potresti ricondurti ad una equazione differenziale a variabili separabili:
$y'(x)= \sqrt(x y(x)+x) = \sqrt(x(y(x)+1))= \sqrt(x)\sqrt(y(x)+1)$. (non mi sono messo a fare i conti, mi auguro non venga una cosa molto complicata
Allora, innanzitutto grazie per la risposta
Ho capito bene l'esercizio sbagliato che avevo postato. Facevo errori considerando le c che uscivano dagli integrali messi negli esponenti. Mi sono poi reso conto che si annullano tra loro e quindi come dici tu la soluzione è $x^2+xc$. Mi hai dato l'illuminazione necessaria
Invece non capisco la tua continuazione.. spero sia stato un errore di distrazione ihih ovvero:
$y(1)=0 => (1)^2+(1)C=0 => 1+C=0 => C=-1 => y(x)=x^2-x$ e non $C=0, y(x)=x^2$
Poi passando all'esercizio successivo sei stato un grande a trovare il modo di scindere le 2 funzioni..
A questo punto di solito proseguo semplicemente facendo:$(y'(x))/sqrt(y(x)+1)=sqrt(x)$ integrando entrambi i membri rispettivamente per y e x
Ma il mio dubbio è.. quando non si possono scindere?
Faccio un altro esempio (sperando che non mi freghi ancora ihih)
$y'=sqrt(xy+1)$
Grazie ancora
Sono una frana con i conti!! Hai ragione non sono stato molto attento nel calcolo della costante, chiedo venia Per quanto riguarda la seconda equazione differenziale: $y'= \sqrt(x y+x)$, devi stare molto attento e camminare con i piedi di piombo, soprattutto per quanto riguarda il dominio delle funzioni soluzione.
Passando infine all'equazione differenziale $y'= \sqrt(x y+1)$ non trovo il modo di risolverla
. Attendiamo qualche intervento divino 
up
"Mathematico":
Passando infine all'equazione differenziale $y'= \sqrt(x y+1)$ non trovo il modo di risolverla
Non so se è possibile risolverla "a mano"... Potresti provare con uno studio qualitativo.
"Gugo82":
[quote="Mathematico"]Passando infine all'equazione differenziale $y'= \sqrt(x y+1)$ non trovo il modo di risolverla
Non so se è possibile risolverla "a mano"... Potresti provare con uno studio qualitativo.[/quote]
bè ma per il livello di studi che facciamo noi non penso capiterà qualcosa del genere.. pensavo fosse una forma facilmente risolvibile e volevo capire come.. ma visto che non è una cosa immediata sicuramente non è di nostra competenza quindi non sforziamoci a capire.
Ciao a tutti
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