[ESERCIZIO] Ricerca massimi e minimi

Fai una domanda Tutte le categorie

6 dic 2015, 19:41

Buonasera,

Determinare i punti di massimo e minimo di $f(x)=x^3 - 3x^2 + 3x - 4$ in $[0,2]$

Inizialmente ho provato a svolgere l'esercizio secondo il seguente teorema:

Sia f continua in $I_delta (x_o)$ e derivabile in $I_delta(x_o)-{x_o}$
Allora
se $f'(x)>0$ in $(x_o-delta, x_o)$ e $f'(x)<0$ in $(x_o, x_o +delta) hArr x_o$ è un punto di massimo rel. di f
se $f'(x)<0$ in $(x_o-delta, x_o)$ e $f'(x)>0$ in $(x_o, x_o +delta) hArr x_o$ è un punto di minimo rel. di f

quindi ho calcolato $f'(x)=3x^2-6x+3$ e ottengo che:

$f'(x)<0$ in $(1-delta, 1)$ e $f'(x)>0$ in $(1, 1 +delta) hArr 1$ è punto di minimo

Però l'eserciziario non riportava $1$ come punto nè di minimo nè di massimo.
Così ho rifatto l'esercizio, per quanto riguarda il punto $x_o=1$, secondo il criterio dell'eserciziario:

$f'(x_o)=0, f''(x_o)>0 rArr x_o$ punto di minimo relativo
$f'(x_o)=0, f''(x_o)<0 rArr x_o$ punto di massimorelativo

se $f''(x_o)=0$ allora:

se $f^(3)(x_o)>0 rArr x_o$ punto di flesso
se $f^(3)(x_o)<0 rArr x_o$ punto di flesso

E difatti ottengo che:

$f^(2)(x)=6x-6$ e $f^(2)(1)=0$
$f^(3)(x)=6 >0 rArr x_o=1$ è un punto di flesso

Non riesco a capire se ho applicato male il primo teorema oppure se esso non è sempre valido

Risposte

donald_zeka

6 dic 2015, 18:54

Il punto di flesso è un punto di massimo/minimo?

donald_zeka

6 dic 2015, 18:55

Non riesco a capire se ho applicato male il primo teorema oppure se esso non è sempre valido

Un teorema, proprio per il fatto di essere un teorema, è sempre vero, se e solo se sono rispettate le condizioni del teorema.

axpgn

6 dic 2015, 18:56

Guarda che la derivata prima non é mai negativa ...

Magma1

6 dic 2015, 19:21

"axpgn":
Guarda che la derivata prima non è mai negativa ...

è la seconda volta stasera che faccio il medesimo errore: praticamente, non so per quale ragione, tendo a considerare il comportamento del grafico di $f'(x)$, ad esempio la parabola ottenuta da $f'(x)$ è decrescente in un intervallo sinistro di $1$ e quindi traggo l'errata conseguenza che anche $f(x)$ deve essere tale...

Grazie per la dritta!