[ESERCIZIO] Ricerca codominio

[Magma1]

$f(x)=(2x+1)/(x+2)$

Salve ragazzi,

Ho un problema con la ricerca del codominio di questa funzione:

so che $D_f=(-oo,-2) uu (-2,+oo)$

inoltre $f'(x)=3/(x+2)^2 >0 AA x ne {-2} -> $ f è crescente in $(-oo, -2)$, e in $(-2,+oo)$ presi singolarmente.

Essendo $f$ continua, per il teorema dei valori intermedi, essa assume tutti i valori compresi tra $(-oo, -2)$ e $(-2,+oo)$

Però quando vado a fare

$ (lim_(x->-oo^-) f(x), lim_(x->-2^+)f(x))= (2, -oo)$ e $(lim_(x->-2^+) f(x), lim_(x->+oo^+)f(x))=(+oo, 2) $

Però, dato che $f_{|(-oo,-2)}$ e$ f_{|(-2,+oo)} $ sono entrambi crescenti, non riesco a capire perché si invertono gli estremi...

[Lo_zio_Tom]

$ f (x) $ continua? ?

[Lo_zio_Tom]

Hai fatto anche qualche errore (di stampa, penso) nei limiti

[Lo_zio_Tom]

È un' iperbole! !

$ lim_(x->-2^-) f (x)=+oo $

$ lim_(x->-2^+) f (x)=-oo $

Sempre crescente $ AA x in RR $

[Magma1]

"tommik":$ f (x) $ continua? ?

Sì, l'ho dimostrato tramite la derivata prima che è sempre positivo per ogni $xne-2$; inoltre è il rapporto di funzioni continue e pertanto anche $f(x)$ continua ad essere continua.

"tommik":Hai fatto anche qualche errore (di stampa, penso) nei limiti

È un' iperbole! !

$ lim_(x->-2^-) f (x)=+oo $

$ lim_(x->-2^+) f (x)=-oo $

Sempre crescente $ AA x in RR $

Sì, giusto $ (lim_(x->-oo^+) f(x), lim_(x->-2^-)f(x))= (2, +oo) $ ; $ (lim_(x->-2^+) f(x), lim_(x->+oo^-)f(x))=(-oo, 2) $

Rileggo sempre i post per evitare i refusi, ma qualcuno mi scappa sempre


Ma, quindi, potrei generalizzare il caso dicendo che se il dominio è definito dall'unione di due intervalli, in cui la funzione è crescenti in ciascuno preso singolarmente, del tipo

$D=(-oo,B) uu (C,+oo)$

allora il codominio avrà un aspetto del genere:

$C= (lim_(x->C^+) f(x), lim_(x->+oo^-)f(x)) uu (lim_(x->-oo^+) f(x), lim_(x->B^-)f(x))=(-oo, C') uu (B', +oo) $?

[Lo_zio_Tom]

"Magma":
Sì, l'ho dimostrato

cioè fammi capire...hai dimostrato che un'iperbole è sempre continua???

Il fatto che in $x=-2$ la funzione non sia definita....e nemmeno la sua derivata...non ti suggerisce nulla?

[Lo_zio_Tom]

che so...un grafico del genere (che si fa a mente, senza calcoli)

[Magma1]

Io non ho detto che $f(x)$ è continua in tutto il suo dominio, ma nei singoli intervalli presi singolarmente, ad esempio:

$f(x)=(2x+1)/(x+2)$, $D_f=(-oo,-2)uu(-2,+oo)$

$f_{|(-oo,-2)}:(-oo,-2)->(...,...)$ e $f_{|((-2,+oo))}:((-2,+oo))->(...,...)$ sono due restrizioni di $f$ e sono continue.

EDIT:

"Magma":
[quote="tommik"]$ f (x) $ continua? ?

Sì, l'ho dimostrato tramite la derivata prima che è sempre positivo per ogni $xne-2$; inoltre è il rapporto di funzioni continue e pertanto anche $f(x)$ continua ad essere continua.

[/quote]
Opps... l'ho detto mi ero confuso... me culpa. Globalmente $f(x)$ non è continua.

EDIT 2: ed infatti anche il teorema della continuità del rapporto delle funzioni cade in quanto non mi trovo in un intervallo, ma in un insieme di intervalli, giusto?

[Lo_zio_Tom]

l'importante è che ora sia chiaro

[Magma1]

"tommik":l'importante è che ora sia chiaro

Sì, sì, grazie . Il confronto, ma anche il fatto di dover discutere di vari casi, mi permette di assimilare meglio le cose e a fare più attenzione.

[donald_zeka]

Il fatto che in x=−2 la funzione non sia definita....e nemmeno la sua derivata...non ti suggerisce nulla?

Una funzione non può essere discontinua dove non è definita, pertanto l'iperbole è continua nel suo dominio.

Ho un problema con la ricerca del codominio di questa funzione:

Non so da che libro hai preso la definizione di codominio, ma il codominio non è quello che hai trovato. Quello che hai trovato è l'immagine della funzione, che è una cosa completamente diversa dal codominio.

[Lo_zio_Tom]

"Vulplasir":

Una funzione non può essere discontinua dove non è definita, pertanto l'iperbole è continua nel suo dominio.

quindi ho detto una corbelleria....sorry

[Magma1]

"Vulplasir":

Ho un problema con la ricerca del codominio di questa funzione:

Non so da che libro hai preso la definizione di codominio, ma il codominio non è quello che hai trovato. Quello che hai trovato è l'immagine della funzione, che è una cosa completamente diversa dal codominio.

Hai ragione, non l'ho specificato: per come è stato impostato il mio corso di Analisi, si suppone che ogni funzione presa in considerazione sia suriettiva; pertanto $Im(f)$ e $C_f$ sono equivalenti.

"Vulplasir":
Una funzione non può essere discontinua dove non è definita, pertanto l'iperbole è continua nel suo dominio.

Giusta osservazione !