Esercizio "strano" equazione differenziale
Ciao a tutti! l'altro giorno mi sono imbattuta in un esercizio mai visto sulle equazioni differenziali :
Data l'equazione differenziale \(\displaystyle y'' + P(x)y' +Q(x)=0 \) , P(x) e Q(x) derivabili su R, si supponga che il determinante Wronskiano di una coppia di soluzioni di tale equazione valga \(\displaystyle (1 + x^2) \) : determinare P(x).
io non ho la minima idea di come posso procedere...l'unica cosa che sono riuscita a fare è trovarmi la coppia di soluzioni....qualche suggerimento? o qualche teorema che mi possa servire?
grazie in anticipo
Data l'equazione differenziale \(\displaystyle y'' + P(x)y' +Q(x)=0 \) , P(x) e Q(x) derivabili su R, si supponga che il determinante Wronskiano di una coppia di soluzioni di tale equazione valga \(\displaystyle (1 + x^2) \) : determinare P(x).
io non ho la minima idea di come posso procedere...l'unica cosa che sono riuscita a fare è trovarmi la coppia di soluzioni....qualche suggerimento? o qualche teorema che mi possa servire?
grazie in anticipo
Risposte
Se \( \varphi_1(t) \) e \( \varphi_2(t) \) sono due soluzioni dell'equazione il determinante Wronskiano $w(t)$ è dato da:
\[w(t) = \text{det} \left[ \begin{matrix} \varphi_1(t) & \varphi_2(t) \\ \varphi_1'(t) & \varphi_2'(t) \end{matrix} \right] =\varphi_1(t)\varphi_2'(t) - \varphi_2(t)\varphi_1'(t)\]
Imponendo $w(t) = (1+x^2)$ qualcosa dovresti ricavarne...
Che dici?
\[w(t) = \text{det} \left[ \begin{matrix} \varphi_1(t) & \varphi_2(t) \\ \varphi_1'(t) & \varphi_2'(t) \end{matrix} \right] =\varphi_1(t)\varphi_2'(t) - \varphi_2(t)\varphi_1'(t)\]
Imponendo $w(t) = (1+x^2)$ qualcosa dovresti ricavarne...
Che dici?
io al momento ho solo ricavato le due soluzioni \(\displaystyle \varphi_{1}(t) \) e \(\displaystyle \varphi_{2}(t) \) e cioè
\(\displaystyle \varphi_{}(t) = 1 - x^2 \) , \(\displaystyle \varphi_{2}(t) = x \) però poi non so come ricavarmi P(x)....cioè a me era venuto in mente anche di applicare il teorema di Liouville e cioè :
da \(\displaystyle \omega(t) = \varphi_{1}(t) \varphi_{2}'(t) - \varphi_{2}(t) \varphi_{1}'(t) \) questo diventerà uguale a
\(\displaystyle ke^{-\int P(x) \,dx} \) ....
\(\displaystyle \varphi_{}(t) = 1 - x^2 \) , \(\displaystyle \varphi_{2}(t) = x \) però poi non so come ricavarmi P(x)....cioè a me era venuto in mente anche di applicare il teorema di Liouville e cioè :
da \(\displaystyle \omega(t) = \varphi_{1}(t) \varphi_{2}'(t) - \varphi_{2}(t) \varphi_{1}'(t) \) questo diventerà uguale a
\(\displaystyle ke^{-\int P(x) \,dx} \) ....
"Ale88ssia":
io al momento ho solo ricavato le due soluzioni \(\displaystyle \varphi_{1}(t) \) e \(\displaystyle \varphi_{2}(t) \) e cioè
\(\displaystyle \varphi_{}(t) = 1 - x^2 \) , \(\displaystyle \varphi_{2}(t) = x \)
Ma queste non sono le soluzioni dell'equazione... Ma neanche ci assomigliano
Devi cercarle nella forma $e^(\lambda x)$
In ogni caso lascia stare quel che ho detto sopra, non porta da nessuna parte.
Beh sì, il teorema di Liouville può aiutare. Nel caso di un equazione omogenea, inoltre, $w(t)$ è soluzione dell'equazione.
PS: Sei sicura che l'equazione non sia omogenea? Mi confermi che il termine $Q(x)$ è il termine noto?
a si non sono soluzioni :/ ? avevo un esercizio simile e ho preso spunto da li...ma chissà allora che cavolo avrò interpretato...
comunque si ti confermo che quel Q(x) è il termine noto....io sono sempre al punto di partenza allora , perchè avendo solo il determinante del Wronskiano non so come si trovino le soluzioni in \(\displaystyle e^{\lambda x} \)... e poi a parte che anche se mi ricavassi le soluzioni..poi?
comunque si ti confermo che quel Q(x) è il termine noto....io sono sempre al punto di partenza allora , perchè avendo solo il determinante del Wronskiano non so come si trovino le soluzioni in \(\displaystyle e^{\lambda x} \)... e poi a parte che anche se mi ricavassi le soluzioni..poi?
Chiamiamo, come ha fatto Emar, \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione.
Per ipotesi sai che
\[
w(t) :=\varphi_1(t)\varphi_2'(t) - \varphi_1'(t)\varphi_2(t) = 1+t^2.
\]
Se adesso derivi questa relazione ottieni:
\[
\varphi_1' \varphi_2' + \varphi_1 \varphi_2'' - \varphi_1' \varphi_2' - \varphi_1'' \varphi_2 = 2t,
\]
cioè
\[
\varphi_1 \varphi_2'' - \varphi_1'' \varphi_2 = 2t\,.
\]
Adesso ti basta usare il fatto che \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) sono soluzioni e dovresti arrivare alla conclusione.
Per ipotesi sai che
\[
w(t) :=\varphi_1(t)\varphi_2'(t) - \varphi_1'(t)\varphi_2(t) = 1+t^2.
\]
Se adesso derivi questa relazione ottieni:
\[
\varphi_1' \varphi_2' + \varphi_1 \varphi_2'' - \varphi_1' \varphi_2' - \varphi_1'' \varphi_2 = 2t,
\]
cioè
\[
\varphi_1 \varphi_2'' - \varphi_1'' \varphi_2 = 2t\,.
\]
Adesso ti basta usare il fatto che \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) sono soluzioni e dovresti arrivare alla conclusione.
ma se la mia equazione iniziale fosse un'equazione omogenea con anche il termine in y e usassi tipo la dimostrazione del teorema di Liouville il quale dice
"Se \(\displaystyle \varphi_{1} \) e \(\displaystyle \varphi_{2} \) sono soluzioni dell'equazione e \(\displaystyle \omega{x} \) è il loro wronskiano allora si ha :
\(\displaystyle \omega(x) = \omega(x0) e^{- \int {P(x) \,dx}} \) "
dimostrazione :
derivando \(\displaystyle \omega = \varphi_{1} \varphi_{2}' - \varphi_{2} \varphi_{1}' \)
\(\displaystyle \omega' = \varphi_{1}' \varphi_{2}' + \varphi_{1} \varphi_{2}'' - \varphi_{2}' \varphi_{1}' -\varphi_{2} \varphi_{1}'' = \varphi_{1} \varphi_{2}'' - \varphi_{2} \varphi_{1}'' \)
poichè \(\displaystyle \varphi_{1} \) e \(\displaystyle \varphi_{2} \) sono le soluzioni ho :
\(\displaystyle \varphi_{1}''+P \varphi_{1}' + Q\varphi_{1} = 0 \)
\(\displaystyle \varphi_{2}''+P \varphi_{2}' + Q\varphi_{2} = 0 \)
otteniamo poi :
\(\displaystyle \varphi_{1}\varphi_{2}'' - \varphi_{2} \varphi_{1}'' + P(\varphi_{1}\varphi_{2}' - \varphi_{2} \varphi_{1}') \)
ovvero \(\displaystyle \omega' + P\omega = 0 \) poi mi ricaverei P
però nel mio caso non abbiamo un 'equazione omogenea....e da dove sei arrivato tu...cioè derivando non saprei che fare...
"Se \(\displaystyle \varphi_{1} \) e \(\displaystyle \varphi_{2} \) sono soluzioni dell'equazione e \(\displaystyle \omega{x} \) è il loro wronskiano allora si ha :
\(\displaystyle \omega(x) = \omega(x0) e^{- \int {P(x) \,dx}} \) "
dimostrazione :
derivando \(\displaystyle \omega = \varphi_{1} \varphi_{2}' - \varphi_{2} \varphi_{1}' \)
\(\displaystyle \omega' = \varphi_{1}' \varphi_{2}' + \varphi_{1} \varphi_{2}'' - \varphi_{2}' \varphi_{1}' -\varphi_{2} \varphi_{1}'' = \varphi_{1} \varphi_{2}'' - \varphi_{2} \varphi_{1}'' \)
poichè \(\displaystyle \varphi_{1} \) e \(\displaystyle \varphi_{2} \) sono le soluzioni ho :
\(\displaystyle \varphi_{1}''+P \varphi_{1}' + Q\varphi_{1} = 0 \)
\(\displaystyle \varphi_{2}''+P \varphi_{2}' + Q\varphi_{2} = 0 \)
otteniamo poi :
\(\displaystyle \varphi_{1}\varphi_{2}'' - \varphi_{2} \varphi_{1}'' + P(\varphi_{1}\varphi_{2}' - \varphi_{2} \varphi_{1}') \)
ovvero \(\displaystyle \omega' + P\omega = 0 \) poi mi ricaverei P
però nel mio caso non abbiamo un 'equazione omogenea....e da dove sei arrivato tu...cioè derivando non saprei che fare...
Ops, hai ragione, l'ho automaticamente letta come equazione omogenea col termine \(Q(x)y\).
Ho il sospetto che l'esercizio sia stato pensato proprio in questo modo; qual è la fonte?
Ho il sospetto che l'esercizio sia stato pensato proprio in questo modo; qual è la fonte?
"Rigel":
Ho il sospetto che l'esercizio sia stato pensato proprio in questo modo
Anch'io prima ho chiesto conferma perché con un'equazione non omogenea l'esercizio non è per nulla banale (o meglio al momento non mi viene in mente come fare)
la fonte è un esame di università di qualche anno fa...quindi se è davvero "impossibile" risolvere tale equazione come se quel Q(x) fosse un termine noto e non il termine della y , suppongo che magari il professore si sia sbagliato nel trascrivere l'esercizio e che magari al momento di tale esame l'abbia detto...ma io ovviamente non ero presente...quindi direi che facciamo proprio finta che l'equazione giusta sia \(\displaystyle y'' + P(x)y' + Q(x)y =0 \) ...a questo punto..se l'equazione è questa..va bene il procedimento che ho fatto io che è poi il continuo di quello di Rigel?
p.s. grazie mille a tutti e due comunque
p.s. grazie mille a tutti e due comunque
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