Esercizio "Determinare punto con norma Minima"

[thesniperist]

Salve ragazzi, mentre svolgevo gli esercizi di Analisi, mi sono imbattuto in un esercizio in cui non sono riuscito proprio a venirne a capo.

La traccia è questa:

Tra tutti i punti di $RR^3$ equidistanti dai tre punti $A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0),
C = (0, 0, 3)$ determina quello di norma minima.

Non saprei neanche da cosa iniziare.
Grazie mille per l'attenzione e per l'aiuto!

[otta96]

Intanto cerca di capire che insieme è quello.

[thesniperist]

"otta96":Intanto cerca di capire che insieme è quello.

In che senso scusami?

[gugo82]

Nel senso di "fai un disegno" e di "fai due conti" per capire con quale insieme hai a che fare.

Dopodiché, sai cos'è la norma di un punto di $RR^3$?
Come imposteresti il problema di minimo?

[thesniperist]

"gugo82":Nel senso di "fai un disegno" e di "fai due conti" per capire con quale insieme hai a che fare.

Dopodiché, sai cos'è la norma di un punto di $RR^3$?
Come imposteresti il problema di minimo?

Ok, ho fatto il disegno, ed ho ottenuto i punti sugli assi x, y, z. L'insieme con il quale ho a che fare è l'insieme $RR^3$, quindi dovrò ottenere un punto del tipo $P=(x,y,z)$ ?

Per quanto riguarda la norma di un punto in $RR^3$ , è la distanza del punto dall'origine, corretto?

Per quanto riguarda l'impostare il problema della norma minima, è proprio questo il punto.
Perchè per quanto riguarda i punti equidistanti, ho capito che devo uguagliare le distanze tra i punti $A-P, B-P, C-P$ .

Ottenendo questa condizione:
$norm(A-P) = norm(B-P) = norm(C-P)$

Ma poi non riesco a comprendere qual è la condizione per avere la norma minima

[gugo82]

"thesniperist":[quote="gugo82"]Nel senso di "fai un disegno" e di "fai due conti" per capire con quale insieme hai a che fare.

Dopodiché, sai cos'è la norma di un punto di $RR^3$?
Come imposteresti il problema di minimo?

Ok, ho fatto il disegno, ed ho ottenuto i punti sugli assi x, y, z. L'insieme con il quale ho a che fare è l'insieme $RR^3$, quindi dovrò ottenere un punto del tipo $P=(x,y,z)$ ?[/quote]
Non "un punto", ma "tanti punti", altrimenti il problema di minimo sarebbe banale assai.

Geometricamente, com'è fatto l'insieme $mathcal(E) := \{ P in RR^3:\ |P - A|=|P - B|=|P - C|\}$?
È un punto? È una retta? Un piano? Un cilindro? Una sfera? Che roba è?

"thesniperist":Per quanto riguarda la norma di un punto in $RR^3$ , è la distanza del punto dall'origine, corretto?

Sì.

"thesniperist":Per quanto riguarda l'impostare il problema della norma minima, è proprio questo il punto.
Perchè per quanto riguarda i punti equidistanti, ho capito che devo uguagliare le distanze tra i punti $A-P, B-P, C-P$ .

Ottenendo questa condizione:
$norm(A-P) = norm(B-P) = norm(C-P)$

Ma poi non riesco a comprendere qual è la condizione per avere la norma minima

Beh, si tratta di risolvere un problema di minimo vincolato, ossia:

$\{ ("minimizzare:", f(P) = |P|), ("sotto condizione:", P in mathcal(E)):}$,

che si può riscrivere:

$\{ ("minimizzare:", f(P) = |P|), ("sotto condizioni:", |P - A| = |P - B|), (" ", |P - A| = |P - C|):}$,

il quale, per ovvi motivi (quali?), è equivalente a:

$\{ ("minimizzare:", f(P) = |P|^2), ("sotto condizioni:", |P - A|^2 = |P - B|^2), (" ", |P - A|^2 = |P - C|^2):}$.

Per impostare analiticamente il problema basta esprimere in coordinate tutte le funzioni che vi compaiono.
Prova: troverai un problema in tre variabili.

Se riesci a stabilire di che tipo è l'insieme $mathcal(E)$, puoi ridurre la complessità del problema, i.e. il numero di variabili.
Quindi vedi se puoi fare qualcosa in tal senso, che ti conviene.