Esercizio punti max e min vincolati. Spiegazione soluzione
Salve,
sto affrontando un esercizio sulla ricerca del max e del min in una funzione in due variabili; nella soluzione offerta dal professore però appare un punto che io non son riuscito a calcolare. Vorrei sapere perché con il mio metodo non riesco a scovare tale punto.
Dunque, questa è la traccia:
la mia soluzione consiste nell'indagare innanzitutto quando \( \bigtriangledown f=0 \) . Ciò avviene per $(x,y)=(0,0)$, punto accettabile perché risiede proprio nella frontiera.
Ho poi indagato sulla frontiera, nel modo seguente.
$1)$ per $y=x$,
$ f(y)=y^3+y^2 => f'=0 <=> y=0 vv y=-2/3 $
quindi i punti critici sono : $ (0,0) $ e $(-2/3, -2/3)$ entrambi accettabili.
$2)$ per $y^2= 4-x^2$ (siamo sulla circonferenza)
$ f(x) = x^3 +4 - x^2 => f'=0 <=> 3x^2 -2x=0 => x=0 vv x=2/3 $
E i punti critici accettabili sono $(0,2)$ e il punto $(2/3, 4sqrt(2)/3)$
$3)$ infine ho visto cosa accade nell'intersezione dei due vincoli (ossia $(sqrt(2),sqrt(2))$ e $(-sqrt(2), -sqrt(2))$
Il mio professore risolve invece con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, arrivando a trovare il punto $(2,0)$ come minimo della funzione. Punto che io non ho minimante calcolato. Come mai? Dove sto sbagliando? Non sono equivalenti i due metodi?
Per completezza vi riporto i calcoli del professore.
sto affrontando un esercizio sulla ricerca del max e del min in una funzione in due variabili; nella soluzione offerta dal professore però appare un punto che io non son riuscito a calcolare. Vorrei sapere perché con il mio metodo non riesco a scovare tale punto.
Dunque, questa è la traccia:
la mia soluzione consiste nell'indagare innanzitutto quando \( \bigtriangledown f=0 \) . Ciò avviene per $(x,y)=(0,0)$, punto accettabile perché risiede proprio nella frontiera.
Ho poi indagato sulla frontiera, nel modo seguente.
$1)$ per $y=x$,
$ f(y)=y^3+y^2 => f'=0 <=> y=0 vv y=-2/3 $
quindi i punti critici sono : $ (0,0) $ e $(-2/3, -2/3)$ entrambi accettabili.
$2)$ per $y^2= 4-x^2$ (siamo sulla circonferenza)
$ f(x) = x^3 +4 - x^2 => f'=0 <=> 3x^2 -2x=0 => x=0 vv x=2/3 $
E i punti critici accettabili sono $(0,2)$ e il punto $(2/3, 4sqrt(2)/3)$
$3)$ infine ho visto cosa accade nell'intersezione dei due vincoli (ossia $(sqrt(2),sqrt(2))$ e $(-sqrt(2), -sqrt(2))$
Il mio professore risolve invece con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, arrivando a trovare il punto $(2,0)$ come minimo della funzione. Punto che io non ho minimante calcolato. Come mai? Dove sto sbagliando? Non sono equivalenti i due metodi?
Per completezza vi riporto i calcoli del professore.
Risposte
Quando ad analis1 cercavi i massimi e minimi di una funzione in [a,b] come facevi?
"Giacomo1288":
Il mio professore risolve invece con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, arrivando a trovare il punto $(2,0)$ come minimo della funzione.
si tratta del punto $(-2;0)$
hai dimenticato un meno, giusto?
Sì, ho dimenticato il segno -.
Ad analisi imponevo derivata nulla e valutavo la funzione nel punto critico. Poi la valutavo in a e b.
Ma ciò come risponde alla mia domanda sul come mai il punto trovato con i moltiplicatori di Lagrange non salta fuori con il mio metodo
Ad analisi imponevo derivata nulla e valutavo la funzione nel punto critico. Poi la valutavo in a e b.
Ma ciò come risponde alla mia domanda sul come mai il punto trovato con i moltiplicatori di Lagrange non salta fuori con il mio metodo
La domanda che ti ho posto io dovrebbe farti riflettere.
Innanzitutto hai sbagliato nel ricavare la y in funzione di x della circonferenza.
Se $x^2+y^2=4$
Allora $y=sqrt(4-x^2)$ per $x in [-2,sqrt2]$
$y=-sqrt(4-x^2)$ per $x in [-2,-sqrt2]$
Prendi l'intervallo $[-2,sqrt2]$, in questo intervallo mediante quella sostituzione della y, la tua funzione in due variabili diventa una funzione in una variabile di cui bisogna determinare il massimo in un intervallo chiuso...che in base a cioè che hai scritto, dovresti saper fare.
Chiaramente, invece di fare due sostituzioni della y, bastava parametrizzare la circonferenza:
$y=2sint$
$x=2cost$
$t in [5/4pi, pi/4]$
E quindi procedere a trovare gli estremi assoluti di una funzione in una sola variabile $t$ in un intervallo chiuso.
Innanzitutto hai sbagliato nel ricavare la y in funzione di x della circonferenza.
Se $x^2+y^2=4$
Allora $y=sqrt(4-x^2)$ per $x in [-2,sqrt2]$
$y=-sqrt(4-x^2)$ per $x in [-2,-sqrt2]$
Prendi l'intervallo $[-2,sqrt2]$, in questo intervallo mediante quella sostituzione della y, la tua funzione in due variabili diventa una funzione in una variabile di cui bisogna determinare il massimo in un intervallo chiuso...che in base a cioè che hai scritto, dovresti saper fare.
Chiaramente, invece di fare due sostituzioni della y, bastava parametrizzare la circonferenza:
$y=2sint$
$x=2cost$
$t in [5/4pi, pi/4]$
E quindi procedere a trovare gli estremi assoluti di una funzione in una sola variabile $t$ in un intervallo chiuso.
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