Esercizio punti interni e di accumulazione
Buongiorno, ho provato a risolvere il seguente esercizio:
Sia l'insieme $ E= { (-1)^(n+1) *3+[1-(-1)^n]/5^n , nin N} $
L'insieme E ha punti interni? Ha punti di accumulazione? Ha punti isolati? Qual è l'insieme dei punti di aderenza?
Ho risolto l'esercizio per n dispari, per n pari e per n=0. Nello specifico ho trovato:
per n pari: E= [-3]
per n=0: E= [-3]
per n dispari E: (3,..., 9377/3125, 377/127, 17/5]
Quindi il punto di accumulazione è 3, l'insieme dei punti di aderenza è costituito da tutti i punti che compongono l'insieme più i punti di accumulazione.
Per i punti isolati inizialmente avrei detto solo -3, ma mi è venuto un dubbio...non è che se prendo un intorno minore della minima distanza tra due punti, anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?
Per i punti interni come mi comporto?
Grazie in anticipo
Sia l'insieme $ E= { (-1)^(n+1) *3+[1-(-1)^n]/5^n , nin N} $
L'insieme E ha punti interni? Ha punti di accumulazione? Ha punti isolati? Qual è l'insieme dei punti di aderenza?
Ho risolto l'esercizio per n dispari, per n pari e per n=0. Nello specifico ho trovato:
per n pari: E= [-3]
per n=0: E= [-3]
per n dispari E: (3,..., 9377/3125, 377/127, 17/5]
Quindi il punto di accumulazione è 3, l'insieme dei punti di aderenza è costituito da tutti i punti che compongono l'insieme più i punti di accumulazione.
Per i punti isolati inizialmente avrei detto solo -3, ma mi è venuto un dubbio...non è che se prendo un intorno minore della minima distanza tra due punti, anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?
Per i punti interni come mi comporto?
Grazie in anticipo
Risposte
premetto che non sono particolarmente ferrato in questo argomento. detto questo mi sembra che l'insieme sia costituito da punti isolati (l'insieme E è sostanzialmente un insieme di punti sull'asse reale). essendo quindi costituito da punti isolati non potrai mai trovare un intorno di un punto totalmente contenuto in E per cui non ci sono punti interni. il punto di accumulazione mi sembra corretto.
"Gianluca91":
Buongiorno, ho provato a risolvere il seguente esercizio:
Sia l'insieme $ E= { (-1)^(n+1) *3+[1-(-1)^n]/5^n , nin N} $
L'insieme E ha punti interni? Ha punti di accumulazione? Ha punti isolati? Qual è l'insieme dei punti di aderenza?
Ho risolto l'esercizio per n dispari, per n pari e per n=0
...
Quello che dici non ha senso. L'esercizio riguarda l'insieme E che non dipende da $n$.
Quindi è i m p o s s i b i l e risolvere l'esercizio per $n$ pari, dispari o che sia 666 o sia un multiplo di 3028
"Fioravante Patrone":
Quello che dici non ha senso. L'esercizio riguarda l'insieme E che non dipende da $n$.
Quindi è i m p o s s i b i l e risolvere l'esercizio per $n$ pari, dispari o che sia 666 o sia un multiplo di 3028
Non capisco il perchè...
C'è il $ (-1)^n $ che mi diventa positivo o rimane negativo a seconda della n che vado ad inserire
"Gianluca91":
[quote="Fioravante Patrone"]
Quello che dici non ha senso. L'esercizio riguarda l'insieme E che non dipende da $n$.
Quindi è i m p o s s i b i l e risolvere l'esercizio per $n$ pari, dispari o che sia 666 o sia un multiplo di 3028
Non capisco il perchè...
C'è il $ (-1)^n $ che mi diventa positivo o rimane negativo a seconda della n che vado ad inserire[/quote]
Pazienza, me ne farò una ragione.
Potrei suggerirti due alternative:
- leggere la mia risposta e cercare di capirla
- andare a prenderti un gelato, o quel che preferisci, con 'sto caldo
Penso che Fioravante si riferisca non tanto allo svolgimento, ma al modo in cui hai definito l'insieme $E$.
tu hai definito l'insieme così:
ma tu hai soltanto messo tra parentesi graffe un'espressione che dipende da $n$.
$E={x inQQ:x=[(−1)^(n+1)⋅3+(1−(−1)^(n))/5^n],n∈NN}$
dove adesso $E$ è l'insieme degli $x$ razionali, tali che $x...$ eccetera.
In poche parole, guardando l'insieme viene da dire: $E$ è l'insieme... di cosa?
Questa modalità di espressione per un insieme si chiama 'per proprietà caratteristica', ma in quel modo l'insieme non è individuato da alcuna proprietà.
Spero di aver inteso bene.
tu hai definito l'insieme così:
"Gianluca91":
$E={(−1)^(n+1)⋅3+(1−(−1)^(n))/5^n,n∈NN}$
ma tu hai soltanto messo tra parentesi graffe un'espressione che dipende da $n$.
$E={x inQQ:x=[(−1)^(n+1)⋅3+(1−(−1)^(n))/5^n],n∈NN}$
dove adesso $E$ è l'insieme degli $x$ razionali, tali che $x...$ eccetera.
In poche parole, guardando l'insieme viene da dire: $E$ è l'insieme... di cosa?
Questa modalità di espressione per un insieme si chiama 'per proprietà caratteristica', ma in quel modo l'insieme non è individuato da alcuna proprietà.
Spero di aver inteso bene.
In assoluto l'insieme \( E \) è stato descritto male. Questo è vero: nell'ambito della teoria assiomatica ZF(C) l'insieme \( E \) di cui sopra si ottiene tramite il principio di specificazione a partire da \( \mathbb{R} \) (o da \( \mathbb{Q} \)). Ma poiché non è questo un esercizio di Logia Matematica o di Teoria degli Insiemi, poiché siamo nella sezione di Analisi Matematica e poiché quasi sicuramente nell'eserciziario da cui è tratto l'esercizio in questione sarà stato specificato in principio di considerare gli insiemi dei vari esercizi come sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \), dubito grandemente che Fioravante Patrone si riferisse a questo.
Secondo me Fioravante Patrone si riferiva a quanto segue.
L'insieme \( E \) per il quale occorre discutere dell'esistenza di punti di accumulazione, punti isolati, punti interni e punti di aderenza è un unico insieme. Segnatamente si tratta dell'immagine della successione di elementi di \( \mathbb{R} \) definita dall'assegnazione \( \displaystyle n \mapsto \left ( - 1 \right )^{n + 1} \cdot 3 + \frac{1 - \left ( - 1 \right )^{n}}{5^{n}} \). Posto ciò, scrivere
significa stravolgere il senso dell'esercizio perché significa affermare che l'insieme \( E \) non è unico e non è l'immagine della successione di cui sopra, significa interpretare l'insieme della traccia non come un singolo insieme ma come una successione di insiemi.
Quindi il senso dell'intervento di Fioravante Patrone era (secondo me) che nella traccia non c'è scritto che al variare di \( n \in \mathbb{N} \) tra i pari ed i dispari, varia l'insieme \( E \) per il quale occorre risolvere l'esercizio, ma c'è scritto che al variare di \( n \in \mathbb{N} \) - tra i pari ed i dispari - si ottengono i vari elementi dell'unico insieme \( E \) di cui si sta discutendo (i.e. i tre insiemi \( E \) che l'utente presume di aver trovato al variare di \( n \in \mathbb{N} \) tra i pari ed i dispari sono in realtà un unico insieme), sicché pretendere di risolvere l'esercizio per particolarizzazione sulla parità di \( n \in \mathbb{N} \) è semplicemente impossibile perché non è quello l'esercizio.
Senza considerare un errore tecnico di fondo: \( 0 \) di suo è pari.
Secondo me Fioravante Patrone si riferiva a quanto segue.
L'insieme \( E \) per il quale occorre discutere dell'esistenza di punti di accumulazione, punti isolati, punti interni e punti di aderenza è un unico insieme. Segnatamente si tratta dell'immagine della successione di elementi di \( \mathbb{R} \) definita dall'assegnazione \( \displaystyle n \mapsto \left ( - 1 \right )^{n + 1} \cdot 3 + \frac{1 - \left ( - 1 \right )^{n}}{5^{n}} \). Posto ciò, scrivere
"Gianluca91":
Ho risolto l'esercizio per n dispari, per n pari e per n=0. Nello specifico ho trovato:
per n pari: E= [-3]
per n=0: E= [-3]
per n dispari E: (3,..., 9377/3125, 377/127, 17/5]
significa stravolgere il senso dell'esercizio perché significa affermare che l'insieme \( E \) non è unico e non è l'immagine della successione di cui sopra, significa interpretare l'insieme della traccia non come un singolo insieme ma come una successione di insiemi.
Quindi il senso dell'intervento di Fioravante Patrone era (secondo me) che nella traccia non c'è scritto che al variare di \( n \in \mathbb{N} \) tra i pari ed i dispari, varia l'insieme \( E \) per il quale occorre risolvere l'esercizio, ma c'è scritto che al variare di \( n \in \mathbb{N} \) - tra i pari ed i dispari - si ottengono i vari elementi dell'unico insieme \( E \) di cui si sta discutendo (i.e. i tre insiemi \( E \) che l'utente presume di aver trovato al variare di \( n \in \mathbb{N} \) tra i pari ed i dispari sono in realtà un unico insieme), sicché pretendere di risolvere l'esercizio per particolarizzazione sulla parità di \( n \in \mathbb{N} \) è semplicemente impossibile perché non è quello l'esercizio.
Senza considerare un errore tecnico di fondo: \( 0 \) di suo è pari.
"G.D.":
... Senza considerare un errore tecnico di fondo: \( 0 \) di suo è pari.
Quanto è bello
Comunque potrebbero essere anche entrambi, perché difatti l'insieme $E$ per quelle che sono le mie attuali conoscenze non descrive quanto serve. Cioè così,per me, rappresenta vari insiemi al variare di $n$ dove per $n$ pari tutti gli insiemi coincidono.
Invece in quel modo si descrive un sottoinsieme dei razionali che gode di una determinata proprietà.
Ma io sono quì per imparare, e come ogni volta, da un vostro 'appunto' si impara
Che (volendo essere puntigliosi) l'insieme \( E \) da un punto di vista formale sia descritto male sono d'accordo.
Che possa quella scrittura rappresentare una successione di insiemi no: perché la variabile della successione occorre quantificata nella formula che definisce gli elementi dell'insieme.
Che possa quella scrittura rappresentare una successione di insiemi no: perché la variabile della successione occorre quantificata nella formula che definisce gli elementi dell'insieme.
Allora, anzitutto grazie per le risposte.
In secondo luogo tengo a specificare che l'esercizio è tratto da un tema d'esame e a mia "discolpa" posso dire che non ho tralasciato nulla nella definizione dell'insieme, mi sono limitato a copiare per filo e per segno il testo dell'esercizio.
Aggiungo che per un esercizio di questo tipo in sede di esercitazione il professore ha effettuato la suddetta distinzione in casi per n pari ed n dispari, per questo ho portato avanti questo metodo risolutivo.
Non so se questo può cambiare le carte in tavola
In secondo luogo tengo a specificare che l'esercizio è tratto da un tema d'esame e a mia "discolpa" posso dire che non ho tralasciato nulla nella definizione dell'insieme, mi sono limitato a copiare per filo e per segno il testo dell'esercizio.
Aggiungo che per un esercizio di questo tipo in sede di esercitazione il professore ha effettuato la suddetta distinzione in casi per n pari ed n dispari, per questo ho portato avanti questo metodo risolutivo.
Non so se questo può cambiare le carte in tavola
"G.D.":
Che (volendo essere puntigliosi) l'insieme \( E \) da un punto di vista formale sia descritto male sono d'accordo.
Che possa quella scrittura rappresentare una successione di insiemi no: perché la variabile della successione occorre quantificata nella formula che definisce gli elementi dell'insieme.
Si in effetti dovrebbe essere del tipo ${a_n}_(n=j)^(k),ninNNj,kinNN$(se omettessi $ninNN$ non potrei stabilire come varia l'indice compreso tra $jleqnleqk$)
ottenendo ${a_j},...,{a_k}$ in effetti in questo caso la variabile è pure quantifica all'interno, anche se non so dove di preciso. Cioè è un numero naturale, ma non so per quali naturali debba valere l'espressione(anche se risulta tutto $NN$). Quindi in poche parole l'insieme non descrive proprio nulla, perché non posso dire nulla né quali $n$ possa andare a pescare, né su.. niente già senza quella quantificazione non posso far nulla.
@gianluca
spero di averti aiutato portando avanti il discorso.
"Gianluca91":
Allora, anzitutto grazie per le risposte.
In secondo luogo tengo a specificare che l'esercizio è tratto da un tema d'esame e a mia "discolpa" posso dire che non ho tralasciato nulla nella definizione dell'insieme, mi sono limitato a copiare per filo e per segno il testo dell'esercizio.
Aggiungo che per un esercizio di questo tipo in sede di esercitazione il professore ha effettuato la suddetta distinzione in casi per n pari ed n dispari, per questo ho portato avanti questo metodo risolutivo.
Non so se questo può cambiare le carte in tavola
Grazie per la precisazione sul testo dell'esercizio.
L'insieme E è un "unico" insieme, non dipende da $n$.
E' stato descritto in un modo abbastanza comune nell'uso della matematica di tutti i giorni.
"per un esercizio di questo tipo in sede di esercitazione il professore ha effettuato la suddetta distinzione in casi per n pari ed n dispari"
Mi sembra del tutto normale che uno (prof o stud che sia) distingua pari e dispari per descrivere gli elementi di questo insieme (la "suddetta" distinzione). Ma poi alla fine "li mette tutti assieme"! Questo è il punto cruciale da capire: non c'è l'insieme E per gli $n$ pari e quello per gli $n$ dispari!! E questa "suddetta" distinzione spero ardentemente che un prof non l'abbia fatta
"Fioravante Patrone":
Grazie per la precisazione sul testo dell'esercizio.
L'insieme E è un "unico" insieme, non dipende da $n$.
E' stato descritto in un modo abbastanza comune nell'uso della matematica di tutti i giorni.
"per un esercizio di questo tipo in sede di esercitazione il professore ha effettuato la suddetta distinzione in casi per n pari ed n dispari"
Mi sembra del tutto normale che uno (prof o stud che sia) distingua pari e dispari per descrivere gli elementi di questo insieme (la "suddetta" distinzione). Ma poi alla fine "li mette tutti assieme"! Questo è il punto cruciale da capire: non c'è l'insieme E per gli $n$ pari e quello per gli $n$ dispari!! E questa "suddetta" distinzione spero ardentemente che un prof non l'abbia fatta
Aaaaah ma allora mi sa proprio che alla base ci sia un bruttissimo equivoco, non volevo intendere che ottengo 2 insiemi E distinti a seconda dell'utilizzo degli n pari o dispari, bensì attraverso la distinzione di n pari ed n dispari volevo individuare gli elementi che compongono l'unico insieme E.
Mi rendo conto che il modo in cui ho scritto questa distinzione è abbastanza vergognoso, ma volevo fare riferimento ad un unico insieme.
Chiarita finalmente la questione, approfitto della sua disponibilità per sottoporre nuovamente le mie perplessità: dunque il punto di accumulazione è 3, l'insieme dei punti di aderenza è costituito da tutti i punti che compongono l'insieme più i punti di accumulazione.
Per i punti isolati inizialmente avrei detto solo -3, ma mi è venuto un dubbio...non è che se prendo un intorno minore della minima distanza tra due punti, anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?
Per i punti interni come mi comporto?
Grazie in anticipo
"Gianluca91":
...
Aaaaah ma allora mi sa proprio che alla base ci sia un bruttissimo equivoco, non volevo intendere che ottengo 2 insiemi E distinti a seconda dell'utilizzo degli n pari o dispari, bensì attraverso la distinzione di n pari ed n dispari volevo individuare gli elementi che compongono l'unico insieme E.
Mi rendo conto che il modo in cui ho scritto questa distinzione è abbastanza vergognoso, ma volevo fare riferimento ad un unico insieme.
...
"vergognoso"?
Esatto! Tra l'altro, eri stato preciso, nella "distinzione". Era questo che mi ha fatto drizzare i capelli in testa:
"Gianluca91":
...
per n pari: E= [-3]
per n=0: E= [-3]
per n dispari E: (3,..., 9377/3125, 377/127, 17/5]
...
Farò come i cattolici, alla fin fine:
Ego te absolvo...
Poi passo alla sostanza
"Fioravante Patrone":
"vergognoso"?
Esatto! Tra l'altro, eri stato preciso, nella "distinzione". Era questo che mi ha fatto drizzare i capelli in testa:
Farò come i cattolici, alla fin fine:
Ego te absolvo...
Poi passo alla sostanza
Mi scuso ancora per l'errore di stile....
Grazie in anticipo per la futura risposta
"Gianluca91":
Chiarita finalmente la questione, approfitto della sua disponibilità per sottoporre nuovamente le mie perplessità: dunque il punto di accumulazione è 3, l'insieme dei punti di aderenza è costituito da tutti i punti che compongono l'insieme più i punti di accumulazione.
Per i punti isolati inizialmente avrei detto solo -3, ma mi è venuto un dubbio...non è che se prendo un intorno minore della minima distanza tra due punti, anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?
Per i punti interni come mi comporto?
...
Allora, gli elementi di $E$ sono: $-3$ e, per $n$ dispari: $3- 2/(5^n)$
Visto che la successione $3- 2/(5^n)$ (per $n$ dispari) converge a $3$ ed è fatta di termini distinti tra loro, $3$ è di accumulazione per $E$.
Quindi ok per punti di accumulazione e di aderenza.
Punti isolati: ovvio che $-3$ se ne sta solo soletto. Ma anche TUTTI gli altri! Anche se prendi $n$ uguale a un fantastiliardo +1, c'è un intorno del corrispondente elemento dentro al quale ci sta lui (il corrispondente elemento) da solo. Insomma, tutti i punti di $E$ sono punti isolati(*).
Punti interni: visto che siamo in $RR$ e non dentro uno spazio topologico strano, se i punti sono isolati è difficile che siano interni.
Mi pare che queste cose siano già state dette, eh. In particolare sui punti interni.
(*) Secondo me nella frase che scrivi:
"anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?"
si capisce che hai bisogno di chiarirti bene le idee di base, oltre ad acquisire un linguaggio più preciso.
Capisco cosa intendi, ma [size=85]nessun punto di E si avvicina a niente[/size]
E questo vale per ogni punto in qualunque insieme, anche per Orsetto, elemento dell'insieme delle nostre capre.
La proprietà di "avvicinarsi a" non è dei punti, degli elementi di una successione, dei valori di una funzione!
E' una proprietà di una successione, di una funzione. Che è una cosa ben diversa.
"Fioravante Patrone":
[quote="Gianluca91"]
Chiarita finalmente la questione, approfitto della sua disponibilità per sottoporre nuovamente le mie perplessità: dunque il punto di accumulazione è 3, l'insieme dei punti di aderenza è costituito da tutti i punti che compongono l'insieme più i punti di accumulazione.
Per i punti isolati inizialmente avrei detto solo -3, ma mi è venuto un dubbio...non è che se prendo un intorno minore della minima distanza tra due punti, anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?
Per i punti interni come mi comporto?
...
Allora, gli elementi di $E$ sono: $-3$ e, per $n$ dispari: $3- 2/(5^n)$
Visto che la successione $3- 2/(5^n)$ (per $n$ dispari) converge a $3$ ed è fatta di termini distinti tra loro, $3$ è di accumulazione per $E$.
Quindi ok per punti di accumulazione e di aderenza.
Punti isolati: ovvio che $-3$ se ne sta solo soletto. Ma anche TUTTI gli altri! Anche se prendi $n$ uguale a un fantastiliardo +1, c'è un intorno del corrispondente elemento dentro al quale ci sta lui (il corrispondente elemento) da solo. Insomma, tutti i punti di $E$ sono punti isolati(*).
Punti interni: visto che siamo in $RR$ e non dentro uno spazio topologico strano, se i punti sono isolati è difficile che siano interni.
Mi pare che queste cose siano già state dette, eh. In particolare sui punti interni.
(*) Secondo me nella frase che scrivi:
"anche quelli che si avvicinano a 3 possono considerarsi isolati?"
si capisce che hai bisogno di chiarirti bene le idee di base, oltre ad acquisire un linguaggio più preciso.
Capisco cosa intendi, ma [size=85]nessun punto di E si avvicina a niente[/size]
E questo vale per ogni punto in qualunque insieme, anche per Orsetto, elemento dell'insieme delle nostre capre.
La proprietà di "avvicinarsi a" non è dei punti, degli elementi di una successione, dei valori di una funzione!
E' una proprietà di una successione, di una funzione. Che è una cosa ben diversa.[/quote]
Grazie mille!!!
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