Esercizio punti estremanti
Ho fatto questo esercizio però non so se l'ho svolto per bene.
Determinare i punti estremanti di: $f(x, y) = (y - 1)(y^2 - x^2)$
Mi sono calcolato il differenziale, e quindi le due derivate parziali per $x$ e per $y$. Dopo ho posto le due derivate parziali uguali a zero in un sistema per trovarmi i possibili punti di massimo e di minimo relativi. Mi sono trovato con $x = 0$ e con $y_1 = 1, y_2 = -1/3$ quindi ho due punti $(0, 1), (0, -1/3)$.
Dopo questo mi sono calcolato la matrice hessiana $H_f(x, y)$, e quindi le derivate parziali seconde. Dopodiché ho verificato se i due punti sono davvero punti di massimo o di minimo. Con il primo punto il determinante della matrice hessiana mi viene $0$. Questo significa che non posso fare niente al riguardo, giusto? Si dice che è indefinito per caso? Mentre con il secondo punto mi viene il determinante uguale a $-32/3$. So che se il determinante è negativo allora esso è un punto di sella.
L'esercizio finisce così? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Determinare i punti estremanti di: $f(x, y) = (y - 1)(y^2 - x^2)$
Mi sono calcolato il differenziale, e quindi le due derivate parziali per $x$ e per $y$. Dopo ho posto le due derivate parziali uguali a zero in un sistema per trovarmi i possibili punti di massimo e di minimo relativi. Mi sono trovato con $x = 0$ e con $y_1 = 1, y_2 = -1/3$ quindi ho due punti $(0, 1), (0, -1/3)$.
Dopo questo mi sono calcolato la matrice hessiana $H_f(x, y)$, e quindi le derivate parziali seconde. Dopodiché ho verificato se i due punti sono davvero punti di massimo o di minimo. Con il primo punto il determinante della matrice hessiana mi viene $0$. Questo significa che non posso fare niente al riguardo, giusto? Si dice che è indefinito per caso? Mentre con il secondo punto mi viene il determinante uguale a $-32/3$. So che se il determinante è negativo allora esso è un punto di sella.
L'esercizio finisce così? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Si tratta di uno dei pochissimi casi in cui fare i calcoli ed esplicitare la funzione di partenza rende le cose più semplici. 
La tua funzione, infatti, diventa un quadrinomio facilissimo da derivare una o più volte
$f(x,y)=y^3-y^2-x^2y+x^2$
Le cui derivate sono
$f_x=-2xy+2x$
$f_y=3y^2-2y-x^2$
Annullandole a sistema, le soluzioni, se non ne dimentico qualcuna, sono $(0,0)$, $(0,2/3)$, $(1,1)$, $(-1,1)$.
Vedi se hai sbagliato qualche calcolo. In genere io sono uno che di errori di calcolo non ne fa pochi, ma stavolta le ho anche verificate.
La tua funzione, infatti, diventa un quadrinomio facilissimo da derivare una o più volte
$f(x,y)=y^3-y^2-x^2y+x^2$
Le cui derivate sono
$f_x=-2xy+2x$
$f_y=3y^2-2y-x^2$
Annullandole a sistema, le soluzioni, se non ne dimentico qualcuna, sono $(0,0)$, $(0,2/3)$, $(1,1)$, $(-1,1)$.
Vedi se hai sbagliato qualche calcolo. In genere io sono uno che di errori di calcolo non ne fa pochi, ma stavolta le ho anche verificate.
Esatto, avevo scritto $f_y(x, y) = 3y^2 - 1 - 2y$. Ho corretto e mi trovo solo con i primi due punti, $(0, 0), (0, 2/3)$. Come ti sono usciti gli altri due?
"Kernul":
Esatto, avevo scritto $f_y(x, y) = 3y^2 - 1 - 2y$. Ho corretto e mi trovo solo con i primi due punti, $(0, 0), (0, 2/3)$. Come ti sono usciti gli altri due?
Dalla prima si ha
$-2xy+2x=0$
cioè
$2x(-y+1)=0$
cioè $x=0$ e $y=1$ da sostituire di volta in volta all'altra per ottenere, di volta in volta altre due soluzioni.
Oh! Giusto! Mi sono completamente dimenticato che dovevo tener conto anche della $y$!
Quindi, facendo di nuovo le derivate parziali mi trovo:
$f_(xx)(x, y) = -2y + 2$
$f_(xy)(x, y) = -2x$
$f_(yx)(x, y) = -2x$
$f_(yy)(x, y) = 6y - 2$
Mi trovo che le seguenti matrici:
$H_f (0, 0) = [[2, 0],[0, -2]]$ il cui determinante è $-4$
$H_f (0, 2/3) = [[2/3, 0],[0, 2]]$ il cui determinante è $4/3$
$H_f (1, 1) = [[0, -2],[-2, 4]]$ il cui determinante è $-4$
$H_f (-1, 1) = [[0, 2],[2, 4]]$ il cui determinante è $-4$
Io so che se la matrice ha determinante positivo allora ci sono due casi. Se il primo numero della matrice è positivo (cioè $f_xx(x, y) > 0$) allora è un punto di massino, mentre se è negativo è un punto di minimo.
Nel caso in cui la matrice ha determinante negativo allora è un punto di sella, mentre se è nullo non si può sapere.
Questo significa che $4/3$ è un punto di massimo e gli altri sono tutti punti di sella? Può mai essere una cosa del genere?
Quindi, facendo di nuovo le derivate parziali mi trovo:
$f_(xx)(x, y) = -2y + 2$
$f_(xy)(x, y) = -2x$
$f_(yx)(x, y) = -2x$
$f_(yy)(x, y) = 6y - 2$
Mi trovo che le seguenti matrici:
$H_f (0, 0) = [[2, 0],[0, -2]]$ il cui determinante è $-4$
$H_f (0, 2/3) = [[2/3, 0],[0, 2]]$ il cui determinante è $4/3$
$H_f (1, 1) = [[0, -2],[-2, 4]]$ il cui determinante è $-4$
$H_f (-1, 1) = [[0, 2],[2, 4]]$ il cui determinante è $-4$
Io so che se la matrice ha determinante positivo allora ci sono due casi. Se il primo numero della matrice è positivo (cioè $f_xx(x, y) > 0$) allora è un punto di massino, mentre se è negativo è un punto di minimo.
Nel caso in cui la matrice ha determinante negativo allora è un punto di sella, mentre se è nullo non si può sapere.
Questo significa che $4/3$ è un punto di massimo e gli altri sono tutti punti di sella? Può mai essere una cosa del genere?
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