Esercizio punti di non derivabilità
Ciao a tutti ragazzi.
Stavo provando ad affrontare una tipologia di esercizi per me nuova e ho bisogno di capire un attimino i procedimenti da svolgere quali sono.
L'esercizio mi chiede di capire che punto di non derivabilità mi trovo di fronte.
$f(x)= sen|x^3 -x^2|$
So che potrei avere problemi di derivabilità lì dove l'argomento del modulo si annulla;
$x^3-x^2=0$ e mi trovo $ x=0 , x=1$
Che sono i due punti che potrebbero crearmi problemi.
Adesso come si procede ?
Devo fare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale per x=0 e x=1, giusto ?
Ed è proprio qui che casca l'asino. Non ho idea di come sviluppare il rapporto incrementale, se devo farlo della funzione di partenza o della derivata prima, nè di come trattare il modulo per $h->0^+$ e per $h->0^-$ .
Saprebbe aiutarmi qualcuno ?
Stavo provando ad affrontare una tipologia di esercizi per me nuova e ho bisogno di capire un attimino i procedimenti da svolgere quali sono.
L'esercizio mi chiede di capire che punto di non derivabilità mi trovo di fronte.
$f(x)= sen|x^3 -x^2|$
So che potrei avere problemi di derivabilità lì dove l'argomento del modulo si annulla;
$x^3-x^2=0$ e mi trovo $ x=0 , x=1$
Che sono i due punti che potrebbero crearmi problemi.
Adesso come si procede ?
Devo fare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale per x=0 e x=1, giusto ?
Ed è proprio qui che casca l'asino. Non ho idea di come sviluppare il rapporto incrementale, se devo farlo della funzione di partenza o della derivata prima, nè di come trattare il modulo per $h->0^+$ e per $h->0^-$ .
Saprebbe aiutarmi qualcuno ?
Risposte
Per studiare la derivabilità in $1$ devi vedere se converge il rapporto incrementale della funzione nel punto $1$, i.e. se esiste finito il limite:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\; .
\]
Lo stesso in $0$.
Prova.
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\; .
\]
Lo stesso in $0$.
Prova.
Si lo so che è questo ciò che devo fare, ma è proprio sviluppare il rapporto incrementale e arrivare a risolvere il limite che mi viene difficile.
Adesso ti scrivo quel che ho scritto sul quaderno ma ti prego di farmi capire la risoluzione esatta qual'è, perchè son convinto che non è corretta la mia risoluzione.
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\; . \]
$f(1+h) = sen|(1+h)^3-(1+h)^2|$
$f(h) = sen|h^3-h^2|$
per cui
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(1+h)^3-(1+h)^2)| - sen|h^3-h^2|}{h}\; . \]
Poi ho svolto i cubi di binomio, sommato i termini simili ecc..
Ma non è cosi che si fa scommetto
Adesso ti scrivo quel che ho scritto sul quaderno ma ti prego di farmi capire la risoluzione esatta qual'è, perchè son convinto che non è corretta la mia risoluzione.
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\; . \]
$f(1+h) = sen|(1+h)^3-(1+h)^2|$
$f(h) = sen|h^3-h^2|$
per cui
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(1+h)^3-(1+h)^2)| - sen|h^3-h^2|}{h}\; . \]
Poi ho svolto i cubi di binomio, sommato i termini simili ecc..
Ma non è cosi che si fa scommetto
Sbagli a valutare $f(1)$, la definizione l'hai scritta correttamente ma poi nel calcolo esplicito al numeratore hai sottratto $f(h)$ anziché $f(1)$; correggi e riprova!
Sai che esistono (eventualmente ti servano, cosa non scontata... Anzi!) le formule di prostaferesi per trasformare somme/differenze in prodotti di funzioni goniometriche?
"Mephlip":
Sbagli a valutare $f(1)$, la definizione l'hai scritta correttamente ma poi nel calcolo esplicito al numeratore hai sottratto $f(h)$ anziché $f(1)$; correggi e riprova!
Cavolo è vero !
Ho corretto ma poi non so cosa fare con il modulo... ti faccio vedere:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(1+h)^3-(1+h)^2)| - sen|1-1|}{h}\; . \]
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(h^3 + 3h^2 + 3h +1) - (h^2 - 2h + 1)| - sen|0|}{h}\; . \]
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(h^3 + 3h^2 + 3h +1 - h^2 + 2h - 1)| - 0}{h}\; . \]
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(h^3 + 2h^2 + 5h)|}{h}\; . \]
Ok, adesso immagino che devo distinguere il caso di h che tende a 0+ e a 0- , giusto ?
Come si comporta il modulo nei rispettivi casi ?
"gugo82":
Sai che esistono (eventualmente ti servano, cosa non scontata... Anzi!) le formule di prostaferesi per trasformare somme/differenze in prodotti di funzioni goniometriche?
E nel mio caso dov'è che potrebbero servirmi tali formule?
C'è un errore di conto qui:
Dovrebbe essere $2h$ e non $-2h$ nella seconda parentesi tonda.
Il conto corretto (se non ho sbagliato i conti anche io
) è
$$\sin|(1+h)^3-(1+h)^2|=\sin|h^3+2h^2+h|=\sin|h(h^2+2h+1)|=\sin|h(h+1)^2|=$$
$$=\sin(|h|(h+1)^2)$$
Come puoi vedere, il segno dell'argomento del seno è sempre non negativo e pertanto, come hai già correttamente detto prima, dovendo studiare il limite per $h\to 0^+$ e per $h\to 0^-$ il valore assoluto si discute facilmente in base a dove sta tendendo $h$.
Ora dovresti poter riuscire a concludere da solo, fatto questo si tratta del calcolo di un limite; chiaramente se hai altri dubbi scrivi pure!
Potresti provare anche come ha suggerito gugo82, io onestamente non ho provato con le formule di prostaferesti; magari risulta ancora più semplice.
"Pemberton!":
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(1+h)^3-(1+h)^2)| - sen|1-1|}{h}\; . \]
\[ \lim_{h \to 0} \frac{sen|(h^3 + 3h^2 + 3h +1) - (h^2 - 2h + 1)| - sen|0|}{h}\; . \]
Dovrebbe essere $2h$ e non $-2h$ nella seconda parentesi tonda.
Il conto corretto (se non ho sbagliato i conti anche io
) è$$\sin|(1+h)^3-(1+h)^2|=\sin|h^3+2h^2+h|=\sin|h(h^2+2h+1)|=\sin|h(h+1)^2|=$$
$$=\sin(|h|(h+1)^2)$$
Come puoi vedere, il segno dell'argomento del seno è sempre non negativo e pertanto, come hai già correttamente detto prima, dovendo studiare il limite per $h\to 0^+$ e per $h\to 0^-$ il valore assoluto si discute facilmente in base a dove sta tendendo $h$.
Ora dovresti poter riuscire a concludere da solo, fatto questo si tratta del calcolo di un limite; chiaramente se hai altri dubbi scrivi pure!
Potresti provare anche come ha suggerito gugo82, io onestamente non ho provato con le formule di prostaferesti; magari risulta ancora più semplice.
Limiti notevoli!!!
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