Esercizio: provate per induzione che...
Buongiorno!
Mi sto esercitando in analisi matematica sul principio di induzione.
Ho svolto la dimostrazione delle formule come la somma dei quadrati/dei cubi dei numeri interi, e la somma di una progressione geometrica.
Ora sto facendo l'esercizio 2.7 del libro "Analisi matematica ABC, 1" di Acerbi-Buttazzo, di cui riporto il punto a.
_Provate per induzione che: a.∀n, $3^n$>=$(n/2)2^n$
Ho incominciato con la verifica per n=0, con cui ottengo 1$>=$0 , che è vero
Proseguo per n=1,$=>$ 3$>=$1, vero
A questo punto decido di non controllare più direttamente ma di applicare l'induzione.
Quindi svolgo:
Ho l'ipotesi $3^n$>=$(n/2)2^n$
Trovo la tesi $3^(n+1)$>=$((n+1)/2)2^(n+1)$
Deduco $3^(n+1)$=$3*3^n$>=$3*(n/2)2^n$>=$((n+1)/2)2^(n+1)$
Devo verificare che $3*(n/2)2^n$>=$((n+1)/2)2^(n+1)$
...Facendo così $3n2^(n-1)$>=$(n+1)2^n$
Arrivo a $3n$>=$(n+1)2$,
falso per n=0 e per n=1.
Vorrei sapere, in generale, se l'esercizio deve essere svolto così e dove, in questo caso, sto sbagliando.
Spero mi possiate aiutare, vi ringrazio in anticipo
Mi sto esercitando in analisi matematica sul principio di induzione.
Ho svolto la dimostrazione delle formule come la somma dei quadrati/dei cubi dei numeri interi, e la somma di una progressione geometrica.
Ora sto facendo l'esercizio 2.7 del libro "Analisi matematica ABC, 1" di Acerbi-Buttazzo, di cui riporto il punto a.
_Provate per induzione che: a.∀n, $3^n$>=$(n/2)2^n$
Ho incominciato con la verifica per n=0, con cui ottengo 1$>=$0 , che è vero
Proseguo per n=1,$=>$ 3$>=$1, vero
A questo punto decido di non controllare più direttamente ma di applicare l'induzione.
Quindi svolgo:
Ho l'ipotesi $3^n$>=$(n/2)2^n$
Trovo la tesi $3^(n+1)$>=$((n+1)/2)2^(n+1)$
Deduco $3^(n+1)$=$3*3^n$>=$3*(n/2)2^n$>=$((n+1)/2)2^(n+1)$
Devo verificare che $3*(n/2)2^n$>=$((n+1)/2)2^(n+1)$
...Facendo così $3n2^(n-1)$>=$(n+1)2^n$
Arrivo a $3n$>=$(n+1)2$,
falso per n=0 e per n=1.
Vorrei sapere, in generale, se l'esercizio deve essere svolto così e dove, in questo caso, sto sbagliando.
Spero mi possiate aiutare, vi ringrazio in anticipo
Risposte
Mi sembra che sia corretto, hai trovato che per \(\displaystyle n=0 \) e \(\displaystyle n=1 \) la seconda disuguaglianza e' falsa, quindi non puoi dire nulla sulla prima.
Quello che si puo' fare e' verificare a mano il caso \(\displaystyle n=2 \) cosi' poi nel passo induttivo puoi assumere che \(\displaystyle n \geq 2 \), quindi in questo caso la seconda disuguaglianza e' vera e per la proprieta' transitiva e' vera anche la prima e quindi hai dimostrato il passo induttivo.
Quello che si puo' fare e' verificare a mano il caso \(\displaystyle n=2 \) cosi' poi nel passo induttivo puoi assumere che \(\displaystyle n \geq 2 \), quindi in questo caso la seconda disuguaglianza e' vera e per la proprieta' transitiva e' vera anche la prima e quindi hai dimostrato il passo induttivo.
Grazie bobus!
In effetti è stato frettoloso da parte mia fermarmi a n=0 e n=1, però questo mi fa sorgere un dubbio...
Perché le prime verifiche sulla disequazione data risultano vere, mentre quelle fatte sul passo induttivo no? Non è uguale? La dimostrazione con il passo induttivo non è "il modo più pratico/veloce" per verificare direttamente la veridicità della disequazione per tutti gli n?
In effetti è stato frettoloso da parte mia fermarmi a n=0 e n=1, però questo mi fa sorgere un dubbio...
Perché le prime verifiche sulla disequazione data risultano vere, mentre quelle fatte sul passo induttivo no? Non è uguale? La dimostrazione con il passo induttivo non è "il modo più pratico/veloce" per verificare direttamente la veridicità della disequazione per tutti gli n?
Il fatto e' che all'aumentare di \(\displaystyle n \) aumenta la differenza tra \(\displaystyle 3^n \) e \(\displaystyle \frac{n}{2}2^n \).
Quando \(\displaystyle n \) e' piccolo i due termini sono vicini, per questo motivo il termine che si ottiene applicando l'ipotesi induttiva, ovvero \(\displaystyle 3\frac{n}{2}2^n \), non si riesce a schiaffarlo nel mezzo, quindi la seconda disequazione e' falsa e quindi non puoi applicare la proprieta' transitiva che ti permetterebbe di concludere.
In particolare se verifichi a mano nel passo base i casi \(\displaystyle n=0,1,2 \) che sono quelli problematici perche' la differenza tra i due termini e' poca, poi nel passo induttivo puoi assumere \(\displaystyle n \geq 2 \) e da questo concludi che vale \(\displaystyle 3n \geq (n+1)2 \). Il fatto che per \(\displaystyle n =0,1 \) quest'ultima disuguaglianza sia falsa non ha alcuna importanza perche' all'inizio del passo induttivo hai assunto che \(\displaystyle n \geq 2 \).
Quindi, volendo usare la metafora del domino, siccome hai fatto cadere a mano le tessere \(\displaystyle n=0,1,2 \) e poi hai verificato che dalla tessera \(\displaystyle n =2 \) in poi, se una tessera cade, allora cade anche la successiva, allora puoi essere sicuro che tutte le tessere sono cadute.
Quando \(\displaystyle n \) e' piccolo i due termini sono vicini, per questo motivo il termine che si ottiene applicando l'ipotesi induttiva, ovvero \(\displaystyle 3\frac{n}{2}2^n \), non si riesce a schiaffarlo nel mezzo, quindi la seconda disequazione e' falsa e quindi non puoi applicare la proprieta' transitiva che ti permetterebbe di concludere.
In particolare se verifichi a mano nel passo base i casi \(\displaystyle n=0,1,2 \) che sono quelli problematici perche' la differenza tra i due termini e' poca, poi nel passo induttivo puoi assumere \(\displaystyle n \geq 2 \) e da questo concludi che vale \(\displaystyle 3n \geq (n+1)2 \). Il fatto che per \(\displaystyle n =0,1 \) quest'ultima disuguaglianza sia falsa non ha alcuna importanza perche' all'inizio del passo induttivo hai assunto che \(\displaystyle n \geq 2 \).
Quindi, volendo usare la metafora del domino, siccome hai fatto cadere a mano le tessere \(\displaystyle n=0,1,2 \) e poi hai verificato che dalla tessera \(\displaystyle n =2 \) in poi, se una tessera cade, allora cade anche la successiva, allora puoi essere sicuro che tutte le tessere sono cadute.
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