Esercizio proposto
Si consideri il problema di Cauchy
$u'=logu$
$u(0)=1/2$
(1) Provare che la soluzione massimale $u$ è definita in un intervallo del tipo $(-infty,a)$, $a>0$.
(2) Calcolare $lim_(t->-infty)u(t)$, $lim_(t->a^-)u(t)$.
$u'=logu$
$u(0)=1/2$
(1) Provare che la soluzione massimale $u$ è definita in un intervallo del tipo $(-infty,a)$, $a>0$.
(2) Calcolare $lim_(t->-infty)u(t)$, $lim_(t->a^-)u(t)$.
Risposte
L'unica cosa che posso dire è questa:
prendo un metodo numerico per approssimare l'equaz. differenziale e poi vedo
cosa viene fuori.
So benissimo che non è elegante, ma almeno qualcosina saprò di questa funzione!
In ogni caso mi viene di pensare che all'inizio, essendo $u'(0) = 1/2$, la derivata della
funzione è negativa; il nuovo valore sarà quindi un numero più piccolo del precedente, cioè di 1/2;
la funzione decresce, poi per tutti gli altri valori la derivata è ancora negativa, sempre più negativa...
A occhio direi che $lim_{x \rightarrow a^{-}} u(x) = 0$ e non solo, ci dovrebbe essere una cuspide nel
punto $a$, visto che la derivata tende a $- \infty$ per $x \rightarrow a^-$.
Francesco Daddi
prendo un metodo numerico per approssimare l'equaz. differenziale e poi vedo
cosa viene fuori.
So benissimo che non è elegante, ma almeno qualcosina saprò di questa funzione!
In ogni caso mi viene di pensare che all'inizio, essendo $u'(0) = 1/2$, la derivata della
funzione è negativa; il nuovo valore sarà quindi un numero più piccolo del precedente, cioè di 1/2;
la funzione decresce, poi per tutti gli altri valori la derivata è ancora negativa, sempre più negativa...
A occhio direi che $lim_{x \rightarrow a^{-}} u(x) = 0$ e non solo, ci dovrebbe essere una cuspide nel
punto $a$, visto che la derivata tende a $- \infty$ per $x \rightarrow a^-$.
Francesco Daddi
Molto brevemente, solo le idee: la soluzione massimale c'è per il th di Cauchy e siccome $u=1$ è soluzione su tutto $\RR$ della stessa equazione con dato $u(0)=1$, la soluzione che parte da $1/2$ sta sotto $u=1$ e sta sopra $u=0$, essendo proibito andare sotto l'asse $t$. Ne segue che $u'<0$ ovunque e quindi, dovendo la soluzione massimale uscire da ogni compatto, deve per forza essere definita in $(-\infty,a)$ per un certo $a>0$, eventualmente $a=+\infty$. Per escludere tale ultima possibilità basta osservare che $u$ ammette, per monotonia, limite per $t \to a^-$, e tale limite finito $l$ deve essere $0$, dal momento che $u'$ deve tendere a $0=\log l$, e $l$ non può essere $1$. Dunque $u \to 0$ per $t \to a^-$ e quindi $u' \to -\infty$, per cui $a$ deve essere finito. Finalmente per $t \to -\infty$ $u \to l$ e quindi $u' \to \log l=0$ da cui $l=1$.
Per la cronaca risulta:
$a = 0.37867...$
fatto con il metodo di Eulero semplice semplice..
Francesco Daddi
$a = 0.37867...$
fatto con il metodo di Eulero semplice semplice..
Francesco Daddi
Riporto la mia soluzione, della cui correttezza non ne sono affatto certo.
Il problema di Cauchy equivale alla seguente equazione integrale:
$int_(1/2)^u(ds)/(logs)=int_0^x1dx$
$int_(1/2)^u(ds)/(logs)=x$.
La funzione integrale $F(u)=int_(1/2)^u(ds)/(logs)$ è definita per $0
per $u->0^(+)$ $F(u)=x->a>0$.
Questo dovrebbe provare che la soluzione massimale è definita in $(-infty,a)$, $a>0$.
Essendo $0$ la funzione è decrescente $=>$ i limiti richiesti esistono.
$lim_(t->-infty)u(t)=l0=lim_(t->-infty)(u(t))/t=lim_(t->-infty)u^{\prime}(t)=logl$.
$logl=0=>l=1$.
La funzione $f(t,u)=logu$ è definita su $D=RRx(0,+infty)$.
Se $lim_(t->a^-)u(t)=l>0$, si avrebbe $(a,l) in D$ e dunque la soluzione sarebbe prolungabile (per un teorema), contro il fatto che $u(t)$ è massimale. Quindi $l=0$.
Il problema di Cauchy equivale alla seguente equazione integrale:
$int_(1/2)^u(ds)/(logs)=int_0^x1dx$
$int_(1/2)^u(ds)/(logs)=x$.
La funzione integrale $F(u)=int_(1/2)^u(ds)/(logs)$ è definita per $0
per $u->0^(+)$ $F(u)=x->a>0$.
Questo dovrebbe provare che la soluzione massimale è definita in $(-infty,a)$, $a>0$.
Essendo $0
$lim_(t->-infty)u(t)=l
$logl=0=>l=1$.
La funzione $f(t,u)=logu$ è definita su $D=RRx(0,+infty)$.
Se $lim_(t->a^-)u(t)=l>0$, si avrebbe $(a,l) in D$ e dunque la soluzione sarebbe prolungabile (per un teorema), contro il fatto che $u(t)$ è massimale. Quindi $l=0$.
Non e' molto chiaro come deduci dall'equazione integrale risultati sull'equazione differenziale, secondo me.
Probabilmente ho scritto delle fesserie.
Comunque, il mio ragionamento è questo:
quando l'equazione è a variabili separabili
$u'=f(u)g(t)$
$u(t_0)=u_0$
si dimostra che il problema di Cauchy è equivalente a
$int_(u_0)^u(ds)/(f(s))=int_(t_0)^tg(t)dt$.
Nel nostro caso viene
$int_(1/2)^u(ds)/(logs)=t$
Ora, siccome il problema di Cauchy iniziale è equivalente a questa equazione integrale, per vedere l'insieme di definizione della soluzione massimale $u(t)$ dovrebbe bastare considerare l'immagine di $t=int_(1/2)^u(ds)/(logs)$.
Però non so se è giusto.
Facendo delle prove con delle equazioni a variabili separabili risolubili, sembra funzionare.
Ad esempio, ho provato con
$u'=u^2$
$u(0)=-1$.
Integrando si ottiene la funzione $u(t)=-1/(1+t)$ definita su $(-1,+infty)$.
Lo stesso intervallo si ottiene con
$int_(-1)^u(ds)/s^2=t$.
Infatti
per $-1
Comunque, il mio ragionamento è questo:
quando l'equazione è a variabili separabili
$u'=f(u)g(t)$
$u(t_0)=u_0$
si dimostra che il problema di Cauchy è equivalente a
$int_(u_0)^u(ds)/(f(s))=int_(t_0)^tg(t)dt$.
Nel nostro caso viene
$int_(1/2)^u(ds)/(logs)=t$
Ora, siccome il problema di Cauchy iniziale è equivalente a questa equazione integrale, per vedere l'insieme di definizione della soluzione massimale $u(t)$ dovrebbe bastare considerare l'immagine di $t=int_(1/2)^u(ds)/(logs)$.
Però non so se è giusto.
Facendo delle prove con delle equazioni a variabili separabili risolubili, sembra funzionare.
Ad esempio, ho provato con
$u'=u^2$
$u(0)=-1$.
Integrando si ottiene la funzione $u(t)=-1/(1+t)$ definita su $(-1,+infty)$.
Lo stesso intervallo si ottiene con
$int_(-1)^u(ds)/s^2=t$.
Infatti
per $-1
"Luca.Lussardi":
...Per escludere tale ultima possibilità basta osservare che $u$ ammette, per monotonia, limite per $t \to a^-$, e tale limite finito $l$ deve essere $0$, dal momento che $u'$ deve tendere a $0=\log l$, e $l$ non può essere $1$...
Non ho capito perchè $u'$ deve tendere a 0.
EDIT: forse ho capito
se $a$ fosse infinito, avremmo $0=lim_(t->+infty)(u(t))/t=lim_(t->+infty)u^{\prime}(t)=logl$.
Dunque $logl=0$ e questo è assurdo dato che $l<1/2$.
$a$ deve allora essere finito.
Sì, è anche noto come th dell'asintoto: se la soluzione massimale ha limite finito per $t \to +\infty$, allora la derivata ha limite $0$.
Questa soluzione dovrebbe essere rigorosa.
Sia $(a,b)$ l'intervallo massimale.
Supponiamo $a$ finito.
Deve risultare $lim_(t->a^-)u(t)=1$, altrimenti la soluzione sarebbe prolungabile.
Considerando l'equazione integrale si ha
$lim_(t->a^-)int_(1/2)^u(ds)/(logs)=lim_(t->a^-)t$,
$a=int_(1/2)^1(ds)/(logs)=-infty$, assurdo perchè si è supposto $a$ finito.
Quindi $a=-infty$.
Supponiamo ora $b=+infty$.
Deve risultare (dalla decrescennza di $u$) $lim_(t->+infty)u(t)=l$, $l in [0,1/2)$.
Considerando l'equazione integrale si ha
$+infty=int_(1/2)^l(ds)/(logs)<+infty$, $l in [0,1/2)$, assurdo.
Quindi $b$ è finito.
Sia $(a,b)$ l'intervallo massimale.
Supponiamo $a$ finito.
Deve risultare $lim_(t->a^-)u(t)=1$, altrimenti la soluzione sarebbe prolungabile.
Considerando l'equazione integrale si ha
$lim_(t->a^-)int_(1/2)^u(ds)/(logs)=lim_(t->a^-)t$,
$a=int_(1/2)^1(ds)/(logs)=-infty$, assurdo perchè si è supposto $a$ finito.
Quindi $a=-infty$.
Supponiamo ora $b=+infty$.
Deve risultare (dalla decrescennza di $u$) $lim_(t->+infty)u(t)=l$, $l in [0,1/2)$.
Considerando l'equazione integrale si ha
$+infty=int_(1/2)^l(ds)/(logs)<+infty$, $l in [0,1/2)$, assurdo.
Quindi $b$ è finito.
Ok, adesso è correttamente scritta.
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