Esercizio: Problema sulle derivate
Ciao a tutti,
avrei da risolvere questo problema sulle derivate:
"Determinare il luogo dei punti che sono intersezione di coppie di rette perpendicolari tra loro ed entrambe tangenti alla parabola di equazione $y=x^2$"
Io avevo pensato di risolverlo così ma non so se è giusto:
Allora la derivata della funzione è $D=2x$
Poichè la derivata rappresenta il coefficiente della retta tangente al grafico e siccome io voglio che le due rette (tangenti) siano perpendicolari tra di loro:
$2x*2x=-1$ (naturalmente impossibile)
ma siccome so che per x>0 le rette hanno coefficiente positivo e per x<0 hanno valore negativo allora:
$2x*(-2x)=-1$ segue $4x^2=1$
e quindi ho che le mie due rette sono $y=x-1/4$ e $g=-x-1/4$
Quindi il punto di intersezione è $(0, -1/4)$.
Ho fatto bene o ho sbagliato tutto?
avrei da risolvere questo problema sulle derivate:
"Determinare il luogo dei punti che sono intersezione di coppie di rette perpendicolari tra loro ed entrambe tangenti alla parabola di equazione $y=x^2$"
Io avevo pensato di risolverlo così ma non so se è giusto:
Allora la derivata della funzione è $D=2x$
Poichè la derivata rappresenta il coefficiente della retta tangente al grafico e siccome io voglio che le due rette (tangenti) siano perpendicolari tra di loro:
$2x*2x=-1$ (naturalmente impossibile)
ma siccome so che per x>0 le rette hanno coefficiente positivo e per x<0 hanno valore negativo allora:
$2x*(-2x)=-1$ segue $4x^2=1$
e quindi ho che le mie due rette sono $y=x-1/4$ e $g=-x-1/4$
Quindi il punto di intersezione è $(0, -1/4)$.
Ho fatto bene o ho sbagliato tutto?
Risposte
Ragioni bene, ma sbagli un passaggio: ti viene chiesto quale sia il luogo di TUTTI i punti che soddisfano questa proprietà: che siano i punti di INTERSEZIONE delle rette. Se prendi due punti qualsiasi della parabola $(x_0,x_0^2),\ (x_1,x_1^2)$ allora le rette sono date da
[tex]$y-x_0^2=2x_0(x-x_0),\qquad y-x_1^2=2x_1(x-x_1)$[/tex]
e la condizione di perpendicolarità è che [tex]$x_0 x_1=-1/4$[/tex]. Ora, risolvendo il sistema tra le due equazioni precedenti (tenendo presente che $x_0\ne x_1$, altrimenti hai sempre la stessa retta) ottieni le coordinate dei punti di intersezione nella forma
[tex]$\left(\frac{x_0+x_1}{2},x_0 x_1\right)=\left(\frac{x_0+x_1}{2},-\frac{1}{4}\right)$[/tex]
per cui il luogo dei punti è la retta di equazione $y=-1/4$.
[tex]$y-x_0^2=2x_0(x-x_0),\qquad y-x_1^2=2x_1(x-x_1)$[/tex]
e la condizione di perpendicolarità è che [tex]$x_0 x_1=-1/4$[/tex]. Ora, risolvendo il sistema tra le due equazioni precedenti (tenendo presente che $x_0\ne x_1$, altrimenti hai sempre la stessa retta) ottieni le coordinate dei punti di intersezione nella forma
[tex]$\left(\frac{x_0+x_1}{2},x_0 x_1\right)=\left(\frac{x_0+x_1}{2},-\frac{1}{4}\right)$[/tex]
per cui il luogo dei punti è la retta di equazione $y=-1/4$.
Ok grazie mille ciampax, chiarissimo al 100% 
Prego.
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