Esercizio problema di cauchy

[silviaaivlis]

Ciao,
ho questo esercizio da risolvere:
Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificando se possibile l’intervallo massimale di definizione
$ { ( u'(t)=t*u(t)^3 ),( u(0)=0 ):} $

E' un'equazione differenziale a variabili separabili e soddisfa le ipotesi del teorema di Cauchy Lipschitz in quanto abbiamo una funzione di classe $ C^1 $ che quindi è localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile, quindi localmente la soluzione è unica.

Se parto cercando le soluzioni banali, cioè ponendo $ t*u(t)^3=0 $ , trovo subito $ u(t)=0 $, che è anche soluzione del problema di Cauchy in quanto soddisfa la condizione di Cauchy.
Giusto?
Ora, essendo la soluzione unica, ho finito?

Perchè se invece io procedo nel seguente modo:

se $ u(t)!=0 $ si ha $ (u'(t))/(u(t)^3)=thArr int_(0)^(t) (d/(ds) (-1/(2*u(s)^2))ds)=int_(0)^(t)s ds $ $
hArr -1/(u(t)^2) =t^2 $ $ hArr (u(t)^2)=-1/t^2 $ che non ha soluzione.
Giusto?

E l'intervallo massimale di definizione è $ RR $?

Grazie mille

[Quinzio]

"silviaaivlis":Ciao,
ho questo esercizio da risolvere:
Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificando se possibile l’intervallo massimale di definizione
$ { ( u'(t)=t*u(t)^3 ),( u(0)=0 ):} $

E' un'equazione differenziale a variabili separabili e soddisfa le ipotesi del teorema di Cauchy

Il teorema di Cauchy e' una cosa, questa qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Cauchy_(analisi_matematica)
che non c'entra nulla con il problema di Cauchy.
Quello che noi vogliamo valutare sono le condizioni di esistenza ed unicita' del problema di Cauchy:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _di_Cauchy

Lipschitz in quanto abbiamo una funzione di classe $ C^1 $ che quindi è localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile, quindi localmente la soluzione è unica.

Se vai a leggere attentamente il teorema di esistenza e unicita' vedi che si parla di funzione lip. e non localmente lip.
Il "localmente" l'hai aggiunto tu in modo arbitrario.
Quindi $u'(t) = f(t,y) = ty^3$ non e' lip. in $y$ e il teorema di u.e e. non vale complessivamente, anche se... (vedi dopo).

Se parto cercando le soluzioni banali, cioè ponendo $ t*u(t)^3=0 $ , trovo subito $ u(t)=0 $, che è anche soluzione del problema di Cauchy in quanto soddisfa la condizione di Cauchy.
Giusto?
Ora, essendo la soluzione unica, ho finito?

Se leggi attentamente https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _di_Cauchy
vedi che la lip. (in $y$) ti assicura l'unicita' e la continuita' (in $t$) ti assicura l'esistenza.

Quindi ora sappiamo che la soluzione esiste ma non e' (necessariamente) unica.
Quindi possiamo solo dire che $y = 0$ e' solo una delle possibili soluzioni.

Perchè se invece io procedo nel seguente modo:

se $ u(t)!=0 $ si ha $ (u'(t))/(u(t)^3)=thArr int_(0)^(t) (d/(ds) (-1/(2*u(s)^2))ds)=int_(0)^(t)s ds $ $
hArr -1/(u(t)^2) =t^2 $ $ hArr (u(t)^2)=-1/t^2 $ che non ha soluzione.
Giusto?

Giusto se mi consideri anche la costante di integrazione.

$\int_{t_0}^{t} {u'(s)} / {u^3(s)} ds = \int_{t_0}^{t} s ds$

$- 1/{u^2(t)} = t^2 +c$



$u^2(t) = - 1/ {t^2 +c}$

In questo caso la costante di integrazione non riesce a verificare $u(0) = 0$ quindi non ci sono altre soluzioni oltre a $u(t)=0$.

E l'intervallo massimale di definizione è $ RR $?

Direi proprio di si.

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Bonus:
risolvere il problema nel caso in cui:
$ { ( u'(t)=t*u(t)^3 ),( u(1)=0 ):} $
Verificare se il teorema di esistenza e unicita' del problema di Cauchy ci da le informazioni esatte sulle soluzioni.

[Lebesgue]

"Quinzio":
Quello che noi vogliamo valutare sono le condizioni di esistenza ed unicita' del problema di Cauchy:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _di_Cauchy


Se vai a leggere attentamente il teorema di esistenza e unicita' vedi che si parla di funzione lip. e non localmente lip.
Il "localmente" l'hai aggiunto tu in modo arbitrario.

Mmm attento, in realtà dipende cosa vuoi: per i problemi di cauchy hai due teoremi di esistenza e unicità, uno locale e uno globale:
https://www.****.it/lezioni/analisi- ... auchy.html

In questo caso sicuramente vale quello locale, ovvero localmente una soluzione esiste sempre ed è unica, in quanto la funzione $f(t,u)=tu^3$ è localmente lipschitz nella variabile $u$
Poi si vede che vale anche l'unicità globale.
Quindi in realtà anche tu Quinzio ti stai riferendo a due teoremi diversi.
In generale, nei problemi di cauchy "da esame" l'unicità locale ce l'hai sempre (altrimenti ha poco senso proporre l'esercizio).

P.s.: Ricorda inoltre che il teorema di esistenza e unicità globale dei problemi di Cauchy ha tanti nomi diversi, dipende dal testo cui fai riferimento: Teorema di Picard, Teorema di Picard-Lindelof, Teorema di Cauchy per equazioni differenziali, Teorema di Cauchy-Lipschitz o Teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard-Lindeof (CLPL), e silivaaivlis ha correttamente detto "Soddisfa le ipotesi del teorema di Cauchy Lipschitz"

"silviaaivlis":
Se parto cercando le soluzioni banali, cioè ponendo $ t*u(t)^3=0 $ , trovo subito $ u(t)=0 $, che è anche soluzione del problema di Cauchy in quanto soddisfa la condizione di Cauchy.
Giusto?
Ora, essendo la soluzione unica, ho finito?

Esatto, perchè la soluzione localmente deve essere unica.
In generale, essendo un'equazione differenziale a variabili separabili che rispetta le ipotesi di esistenza e unicità locali, le soluzioni banali sono quelle che annullano il termine in $u$