Esercizio probabilità (statistica)

[arutrops]

Vi chiedo aiuto per risolvere questo esercizio che era nel mio esame e non sono riuscita a fare!

Il 20% degli iscritti ad un gruppo ciclistico utilizza il casco protettivo. Supponendo di estrarre casualmente con reinserimento alcuni iscritti dal gruppo, calcolare:
a)la probabilità che, estraendo 4 iscritti, nessuno utilizzi il casco;
b)la probabilità che, estraendo 5 iscritti, almeno due utilizzino il casco;
c)la probabilità che, estraendo 3 iscritti, non più di due utilizzino il casco;
d)il valore atteso e la varianza della variabile casuale che descrive il numero di utilizzatori del casco supponendo di estrarne casualmente dal gruppo 50.
e)Da un’indagine campionaria svolta sul territorio nazionale (campione casuale semplice con reinserimento di 200 unità) è risultato che la percentuale di utilizzatori del casco in bicicletta è pari al 25%. Verificare a livello di significatività α=0.05, se la proporzione di utilizzatori del casco nella popolazione relativa all’indagine sia o meno uguale a quella del gruppo ciclistico.

Se riusciste a spiegarmi come farlo ve ne sarei grata,
Grazie :)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data un'urna contenente 100 certificati di un gruppo ciclistico, sapendo che 20
appartengono ad iscritti con casco protettivo e 80 ad iscritti senza casco, se si
effettuano delle estrazioni con reinserimento allora occorre fare riferimento alla
distribuzione binomiale secondo la quale in

[math]n[/math]

estrazioni con probabilità di vin-
cita

[math]p[/math]

e probabilità di perdita pari a

[math]1-p[/math]

, la probabilità di

[math]k[/math]

successi è
pari a

[math]\mathbb{P}(p,\,n,\,k) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}[/math]

. Il valore atteso e la varianza di tale
distribuzione valgono rispettivamente

[math]\mu = n\,p[/math]

e

[math]\sigma^2 = n\,p\,(1 - p)\\[/math]

.

Alla luce di tutto ciò, segue che:

a)

[math]\mathbb{P}\left(\frac{80}{100},\,4,\,4\right) = \frac{256}{625} \approx 41\% \; ;\\[/math]

b)

[math]\begin{aligned}\sum_{i = 2}^5 \mathbb{P}\left(\frac{20}{100},\,5,\,i\right) = \frac{821}{3125} \approx 26\% \; ;\end{aligned}\\[/math]

c)

[math]\begin{aligned}\sum_{i = 1}^2 \mathbb{P}\left(\frac{20}{100},\,3,\,i\right) = \frac{12}{25} = 48\% \; ;\end{aligned}\\[/math]

d)

[math]\mu = 50\cdot \frac{20}{100} = 10\,, \; \; \; \sigma^2 = 50\cdot\frac{20}{100}\cdot\left(1 - \frac{20}{100}\right) = 8 \; .\\[/math]

Ora, sapendo che su un campione bernoulliano di numerosità pari a

[math]\small 200[/math]

gli
iscritti con casco protettivo sono il

[math]25\%[/math]

, vogliamo verificare l'ipotesi che nella
popolazione la quota di iscritti con casco sia pari al

[math]20\%[/math]

al livello di signifi-
catività

[math]\alpha = 0.05\\[/math]

.

e) Per verificare l'ipotesi

[math]H_0 : p_0 = 0.20[/math]

si utilizza la seguente statistica:

[math]\left|\frac{0.25 - 0.20}{\sqrt{\frac{0.20\cdot 0.80}{200}}}\right| \approx 1.768[/math]

che va confrontata con il quantile di ordine

[math]\small 1 - \alpha/2\small[/math]

_
della distribuzione normale standard. Dato che

[math]1.768[/math]

risulta minore di

[math]u_{0.975} = 1.960[/math]

non si ha motivo di rifiutare l'ipotesi nulla al livello di
significatività

[math]\alpha = 0.05\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)