Esercizio principio di induzione

[Fabrufy]

Ciao a tutti, spero possiate aiutarmi nella risoluzione di un esercizio riguardante il principio di induzione che non riesco a fare, perché non capisco il procedimento...

n^2(n+1)!>=2^n

Ho provato così:
Al passo n=1 è vero, passo quindi ad n+1

(N+1)^2 (n+2)!>=2^(n+1) E ora? Non so come andare avanti... Cioè come devo ragionare per raggiungere il mio obiettivo.
Spero poessiate chiarirmi le idee. Grazie

[_prime_number]

Ciao e benvenuto. Intanto ti prego (come da regolamento) di usare il sistema per le formule (vedi topic apposito in evidenza un po' ovunque nel forum) per amor di facilità di lettura da parte di chi ti aiuta.

Detto ciò, hai già verificato il caso base $n=1$. Assumiamo che valga per un certo $n$, ovvero assumiamo che sia vero che
(1): $n^2 (n+1)!\geq 2^n$.

Ora, consideriamo la parte destra della diseguaglianza nel caso $n+1$:
$2^{n+1}$
manipoliamola un po' per cercare di ricondurci a qualcosa di simile a (1) di modo da sfruttare la diseguaglianza assunta per ipotesi:
$2^{n+1}=2 \cdot 2^n \leq$ (uso l'ipotesi)
$\leq 2\cdot n^2(n+1)! \leq $ (uso il fatto che, essendo $n$ positivo, si ha $n^2\leq (n+1)^2$)
$\leq 2 (n+1)^2 (n+1)!\leq $ (uso il fatto che $2\leq n+2$)
$\leq (n+2)(n+1)^2(n+1)! = (n+1)^2 (n+2)!$
ed ecco provata la diseguaglianza nel caso $n+1$ e completato il procedimento.

Paola

[Fabrufy]

Grazie Mille!! Ho capito tutto