Esercizio polinomio di Taylor

[dattolico_007]

Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente esercizio:
Determina il polinomio di Taylor di ordine 3 nel punto $x_0=0$ di: $log(e^(2x)-sinx)$
Ho pensato di raccogliere per $e^(2x)$ e trovare $2x + log(1+(-sinx/(e^(2x))))$ porre $ y=-sinx/(e^(2x))$ e usare lo sviluppo del logaritmo. E poi? come dovrei gestire il seno e l'esponenziale? Li sviluppo e basta? vien fuori una mezza schifezza. Tutto nella norma?
A conti fatti dovrei avere $log(1+y) = y -1/2y^2 +1/3y^3 + o(y^3)$.
Invece sviluppando $sinx/(e^(2x)$ dovrei trovare $ (x-x^3/6+o(x^3))/(1+2x+2x^2+4/3x^3+o(x^3))$ e che posso farci? sostituisco e basta? Lo chiedo perché non vorrei aver commesso errori, non avendo risultati da confrontare.
Vi ringrazio in anticipo!

[ingres]

In questo tipo di esercizi conviene essere molto sistematici. Cominciamo con lo sviluppare la parte interna, (per semplicità di scrittura nel seguito ometterò i termini $o(x^3)$)

$e^(2x)-sin(x) = (1 + 2x + 2 x^2 + 4/3 x^3) - (x - 1/6 x^3) = 1 + x + 2 x^2 + 3/2 x^3$

$log(e^(2x)-sin(x)) = log(1 + (x + 2 x^2 + 3/2 x^3)) =$
$=(x + 2 x^2 + 3/2 x^3) -1/2 (x + 2 x^2 + 3/2 x^3)^2 +1/3 (x + 2 x^2 + 3/2 x^3)^3$

ovviamente non vado oltre perchè si va su termini di ordine superiore al terzo. Quindi

$=x + 2 x^2 + 3/2 x^3 -1/2 (x^2 + 4 x^3) +1/3 x^3 = x+3/2x^2 - 1/6 x^3$

[pilloeffe]

Ciao paolo1712,

Nel caso specifico se devi arrivare solo fino all'ordine 3 puoi calcolare direttamente le derivate di $f(x) = log(e^{2x} - sin x) $, non è una cosa impossibile:

$f(0) = 0 $

$f'(x) = (2e^(2x) - cos x)/(e^(2x) - sin x) \implies f'(0) = 1 $

$f''(x) = (e^(2 x) (4 cos(x) - 3 sin(x)) - 1)/(e^(2 x) - sin(x))^2 \implies f''(0) = 3 $

$f'''(x) = (e^(2 x) (26 - 2 cos(2 x) + 4 e^(2 x) sin(x) - 11 sin(2 x)) - 2(2 + 11 e^(4 x)) cos(x))/(2 (e^(2 x) - sin(x))^3) \implies $

$\implies f'''(0) = - 1 $

Dunque lo sviluppo in serie richiesto è il seguente:

$f(x) = x + 3/2 x^2 - 1/6 x^3 + o(x^4) $

[dattolico_007]

Grazie mille per i consigli e per la risoluzione!