Esercizio polinomio di Taylor

[Jack871]

Ciao.

Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:

Si ponga:

$f(x) = int_0^{x^2} e^{t^2} dt$

1) Si calcoli $P_7(x)$, il polinomio di Taylor di $f(x)$ di ordine 7 in 0.

2) Stimare l'errore $|f(x) - P_7(x)|$ per $x in (0, 1)$.


Per il punto (1) ho provato a calcolare tutte le derivate necessarie con la "forza bruta", ma pur non essendo calcoli complicati, mi sembra comunque una soluzione troppo tortuosa. C'è una via alternativa più semplice?

Ho calcolato la derivata prima nel modo seguente:

$d/dx int_{x_0}^{h(x)} f(t) dt$

e quindi

$f'(x) = e^{x^4} 2x$

è corretto?

Grazie!

[ostrogoto1]

Il polinomio di Taylor di $ e^(x^2) $ e' facilmente calcolabile dal polinomio di Taylor di $ e^x $.
Considerando che si chiede il polinomio di Taylor troncato fino al 7 ordine, avrei preso il polinomio fino al 7 ordine di $ e^x $, e poi avrei integrato termine a termine considerando che essendo una serie di termini finiti non ci sono problemi di passaggio della serie sotto il segno di integrale.

[dissonance]

Ma non c'è bisogno di arrivare al settimo ordine, direi. Poniamo $y=x^2$ e sviluppiamo in $y$ fino al terzo ordine, questo già basterà. Infatti il settimo termine del polinomio in $x$ si deve annullare, come tutti i termini dispari; percio' basta sviluppare fino al sesto ordine, e 6 è il doppio di 3.

[Jack871]

Grazie per i suggerimenti.
Vediamo se ho fatto bene i compiti...

Scrivo lo sviluppo di $e^y$ in 0:

$1 + y + {y^2}/{2!} + {y^3}/{3!} + cdots + {y^n}/{n!}$

Pongo $y = t^2$:

$1 + t^2 + {t^4}/{2!} + {t^6}/{3!} + cdots + {t^{2n}}/{n!}$

Ed integro il tutto:

$int_0^{x^2} 1 dt + int_0^{x^2} t^2 dt + int_0^{x^2} {t^4}/{2!} dt + int_0^{x^2} {t^6}/{3!} dt + cdots + int_0^{x^2} {t^{2n}}/{n!} dt$

$x^2 + {x^6}/{3} + {x^10}/{2! cdot 5} + {x^14}/{3! cdot 7} + cdots + {x^{2n+1}}/{n! cdot (2n+1)}$

Concludo troncando il polinomio all'ordine richiesto:

$P_7(x) = x^2 + {x^6}/{3}$


Ora veniamo alla stima dell'errore.

Calcolo il resto di Lagrange ${f^{(n+1)}(xi)}/{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$ partendo nuovamente da $e^y$:

${y^{n+1}}/{(n+1)!} e^{xi}$

${t^{2n+2}}/{(n+1)!} e^{xi}$ (dove ho posto ancora una volta $y = t^2$)

$int_0^{x^2} {t^{2n+2}}/{(n+1)!} e^{xi} dt = {x^{4n+6}}/{(n+1)! cdot (2n+3)} e^{xi}$

Essendo $n = 1$, ottengo infine:

$|f(x) - P_7(x)| = {x^10}/{2! cdot 5} e^{xi}$ con $xi$ compreso tra 0 e $x$.


Cosa dite?

Grazie!

[ostrogoto1]

Nota l'esponente della x nell'ultimo termine: $ 2(2n+1) $ non $ 2n+1 $ come hai indicato tu...comunque poi i termini che hai calcolato sono corretti:
$ int_0^(x^2)e^(t^2)dt=x^2+1/3x^6+... $
Indico con R(x) il resto di Lagrange.

$ int_0^(x^2)e^(t^2)dt=int_0^(x^2)sum_(n=0)^N[t^(2n)/(n!)+R(t)]dt=sum_(n=0)^Nx^(2(2n+1))/(n!(2n+1))+int_0^(x^2)R(t)dt $